左大培：内生稳态增长模型的生产结构（导论）

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内生稳态增长模型的生产结构(一)

(本书即将由中国社会科学出版社出版)

左 大 培

前 言

本书是中国社会科学院重大课题《新经济增长理论的发展和比较研究》的主要成果，意在说明内生经济增长理论中稳态增长条件的生产结构。书中以严格的数学推导证明了，在将最终产品生产函数各个自变量的增长率都内生化之后，要使稳态增长率具备某些合意的特点，各种物品的生产函数应当具有哪些性质。这一论述将为研究内生经济增长模型确立判定和设立生产函数的准则。

对于经济增长理论的研究来说，本书论证的核心是一个有着基础性指导意义的原理。这一原理是，如果将最终产品总量生产函数各个自变量的增长率都内生化，而这些自变量的存量又都没有折旧，则要达到“卡尔多稳态”，既使所有自变量物品的稳态增长率都大于零且并不完全彼此相等，就必须至少满足下列3个条件中的一个：或者是至少有一种自变量物品（如劳动力）的增长率是外生给定的；或者是某几种自变量物品的生产全自变量规模报酬不变且在生产中不使用生产上不是全自变量规模报酬不变的物品；或者是各种不同自变量物品的生产既有全自变量规模报酬递增的，也有全自变量规模报酬递减的。

本书还论证了在哪些情况下，各种不同物品的稳态增长率解可能有相反的正负号，并且证明，在一些很平常的条件下，出现正负号相反的稳态增长率解只不过标志着一个经济最终将陷入增长率不断上升的爆炸性增长。

本书的这些论证显然对建立和运用经济增长理论模型有直接的指导意义。作者要感谢北京大学经济管理学院的李绍荣老师，他审读了本书的书稿并对书中的绝大多数数学论证都作了审查。当然，本书是由作者自己独立完成的，对书中的任何错误和遗漏，都只能由作者自己承担全部责任。

左大培

2004年2月10日

目录

导论

第一章 内生稳态增长的条件

第一节 从新古典增长理论到内生增长模型

第二节 当前的四自变量内生稳态增长模型

第三节 推广到更一般情况的内生增长模型

一、生产函数

二、全自变量规模报酬

三、外生给定的增长率

四、最终产品和物质资本的增长率

命题1

五、各种自变量物品的增长率

命题2

推论2

第四节 一般情况下的内生稳态增长

一、稳态增长的条件。没有外生给定增长率的情况

命题3

二、标准化的稳态增长率解

三、稳态增长率与稳态增长率解

命题4

例子4

四、有外生给定增长率时的稳态增长条件

第二章 基准情况：全自变量规模报酬不变

第一节 没有外生给定增长率的情况

命题5

第二节 经济持续增长的根源

第三节 某些物品的增长率外生给定的情况

一、一种物品的增长率外生给定

命题6

二、两种或两种以上物品的增长率外生给定

命题7

推论7

例子7：与新古典增长模型相比较

第三章 没有报酬递增物品的情况

第一节 报酬不递增物品稳态增长的前提

命题8

推论8

命题9

推论9，推论9.1

第二节 只有报酬递减物品的情况

命题10

推论10

第三节 不同物品稳态增长率解的相互关系

一、相同正负号定理

命题11

推论11.1，推论11.2，推论11.3，推论11.4，推论11.11，推论11.21

二、数值排序定理

命题12

推论12，推论12.1，推论12.2，推论12.21

例子12.1：外生给定增长率、报酬不变和报酬递减物品

例子12.2：外生给定增长率与报酬递减物品

第四章 所有物品的生产都报酬递增的情况

第一节 报酬递增物品稳态增长的前提

命题13

推论13

命题14

第二节 只有报酬递增物品的情况

推论14，推论14.1

例子14：只有报酬递增物品

第三节 一种物品的增长率外生给定

命题15

推论15

例子15.1：新古典增长模型中的数值排序

例子15.2：外生给定增长率与报酬递增物品——稳态增长率解正负号相

同的情况

第五章 稳态增长率解有不同正负号

第一节 自变量物品对其自身生产的贡献率大于1

命题16

例子16.1：规模报酬“超递增”的生产函数

例子16.2：爆炸性增长的规模报酬“超递增”生产函数

第二节 稳态增长率解正负号必定相反的其它情况

命题17

例子17.1：外生给定增长率、报酬不变与报酬递增物品——稳态增长率

解正负号相反

例子17.2：外生给定增长率、报酬不变与报酬递增物品——稳态增长率

解正负号相同

命题18

第三节 判断稳态增长率解正负号可能相反的标准

定义19

命题19

例子19

大致的判断标准19

例子19.1：两种物品报酬递增

例子19.2：只有一种物品报酬递增

第四节 稳态增长率解正负号相反的连锁效应

命题20

第五节 爆炸性增长：稳态增长率解正负号相反的动态含义

命题21

例子21

第六章 稳态增长率解正负号相同的情况

第一节 稳态增长率解相等的前提条件

一、一般情况

规模报酬扩充度平均增长率定义

命题22

二、只有一种物品有不同增长率

推论22

例子22：彼此相等的稳态增长率解

第二节 无外来投入的规模报酬不变系统

“无外来投入的规模报酬不变系统”定义

命题23

例子23.1：“无外来投入的规模报酬不变系统”与报酬递增物品

例子23.2：“无外来投入的规模报酬不变系统”与报酬递减物品

推论23

第三节 一种物品的增长率外生给定

命题24

例子24.1：外生给定增长率取中间值

例子24.2：报酬递增和报酬递减物品增长率都偏高

推论24

第四节 没有外生给定的增长率

一、“不可能全都报酬递减”定理

命题25

推论25，推论25.1

二、“报酬递减与报酬递增共存”定理

命题26

推论26

例子26：将外生给定增长率内生化

第七章 结论

补论：自变量物品的非竞争性对经济增长的作用

参考文献

导 论

本书研究的对象是内生经济增长理论中稳态增长条件的生产结构。对1986年之后西方主流经济学中兴起的所谓“新增长理论”，本书主要从它的内生经济增长特性方面进行研究，而且将这种研究集中在它的稳态增长条件上。由于当代的经济增长理论都是以数学模型的形式表述的，本书对内生稳态增长理论的研究不能不是一种对数学模型的研究。我们是以数学形式阐明内生稳态增长理论模型的生产结构的。

当代的经济增长理论主要从供给方面研究长期经济增长的根源。它依据生产函数中表述的投入与产出之间的数量关系，力图通过说明投入增长的决定因素来解释最终产品生产能力的长期增长。这些经济增长模型这样致力的目的，是从投入产出关系上解释卡尔多（N. Kaldor）所归纳的经济增长的几个特征性事实（stylized facts）。这些特征性事实中包括：最终产出与人均产出都趋于以稳定的增长率增长，每工人平均的资本不断增长，而资本—产出比在长期中稳定不变（Kaldor，1961，p. 178）。这些特征事实意味着在长期中资本、劳动力与最终产出都以不变比率增长，最终产出与资本的增长率大致相等且二者都高于劳动力的增长率。对于最终产出与资本的增长率相等且二者都不变的经济增长状况，当代的经济增长理论已经赋予了特殊的称呼：稳态（Steady State）增长路径、平衡增长路径（balanced growth path），而卡尔多所描述的上述特征性事实显然是这种经济增长状况中的一个特例。为了简便，我们将具有卡尔多描述的特征性事实的稳态称作“卡尔多稳态”。在新古典增长理论之后的经济增长理论中，这种稳态增长路径被看作均衡增长的一种特殊情况。

虽然18－19世纪的古典经济学就对经济增长问题作过系统论述，但是规范化、模型化的现代经济增长理论研究却始于哈罗德－多马的经济增长模型。不久之后，经济增长理论研究的主流就从哈罗德－多马模型变为新古典增长理论。从此以后主流的经济增长模型一般都使用柯布—道格拉斯式的连续可微生产函数，假定整个经济时时处于均衡之中。

但恰恰是在这个基础上，稳态增长路径成了经济增长模型分析注重的焦点。这当然是出于新古典经济学一贯的走捷径行为方式：非稳态的经济增长路径即使是处于均衡状态下，也难于对其进行理论分析，更难于为其概括出简单的一般规则。但是研究成果的适用性也是一个重要的考虑因素——解释发达国家出现的卡尔多稳态一直是经济增长理论最主要的任务之一。

索洛等人构造的最初的新古典增长模型把最终产品的产量看成是资本和劳动这两种生产要素的增函数，而这3者之间的函数关系又取决于“技术”。这样，在最初的新古典增长模型中，最终产品的产量实际上是资本、劳动和技术这3种随时间而变化的自变量的函数。在索洛的模型体系中，劳动的增长率和“技术的增长率”（“技术进步速度”）都是外生给定的，而资本的增长率实际上取决于最终产品的增长率，因为资本的增加量取决于最终产品的产量和储蓄率，而储蓄率被看成外生给定的常数（Solow, 1956）。

在新古典增长理论模型的基础上，对经济增长的模型分析沿着3个大的方向发展：第一个方向是给新古典增长模型补充上跨期最优化的消费决策分析，其主要功能是将储蓄占最终产品的比率（储蓄率）的决定内生化；第二个方向是将生产率的变化内生化，设计专门的模型来解释新古典增长模型中的“技术”因素如何发生变化；第三个方向上的研究成果至今仍然很少，它是将人口的增长率内生化，设计专门的模型来说明人口的增长率如何决定。

虽然上述三个发展方向都是把索洛模型中的某个给定条件内生化，但是第一个发展方向与后两个发展方向有明显的不同：第一个发展方向是把某种配置的比例（最终产品中用于资本形成的比例）内生化，作到这一点的途径是分析消费上的最优化行为；而后两个发展方向是把最终产品生产函数中某个自变量的增长率内生化，作到这一点的必要条件是为相应的自变量物品列出生产函数。

其实早在索洛的经济增长模型产生之前，甚至在现代的经济增长理论模型出现之前，拉姆齐就在1928年的一篇论文中，以数学模型论证了最优消费行为下的储蓄所必须满足的条件。拉姆齐的这篇论文力图说明，为了使未来无限期界中的总效用最大化，一个国家应当将其收入中的多少储蓄起来。它论证的是实现了这种最优化的储蓄在每个时点上所必须满足的条件（Ramsey，1928）。这篇论文已经建立了以最优化的消费行为来决定储蓄率的分析框架，但是它的数学模型在30多年中都没有结合进经济增长的理论模型中。

只是到了20世纪60年代，在苏联的庞特里亚金（Pontryagin）等人阐发了最优控制理论中的最大值原理之后，卡斯（Cass）和库普曼斯（Koopmans）才将最优化的消费行为分析引进经济增长模型中来，通过这种分析而在经济增长模型中内生地决定了储蓄率。他们的分析采用索洛式的总量经济模型，但是又假设消费者要通过其消费和储蓄决策将未来无限期界中的总效用最大化，而这样决定的每个时点上的最优消费、储蓄、资本存量和总产量自然决定了每个时点上的最优储蓄率（Cass, David，1965）。

将拉姆齐－卡斯－库普曼斯的最优消费模型结合进索洛的经济增长模型，不仅使新古典经济增长模型得以完善，而且还为以后的所有经济增长理论模型确立了一个准则：一个完整的经济增长理论模型必须包括以最优化行为分析来决定每个时点上的资源配置比例这一部分。在各种“新”经济增长模型或“内生”经济增长模型中，这已经成了数量分析中的常规和惯例。近年来出现的那些将总量生产函数的某一自变量增长率内生化的新增长模型，几乎都要以某种消费和厂商的个体最优化行为分析来决定，产品和各种生产资源中各有多大部分用在哪一种用途上。这些用途不仅包括消费、生产最终产品，而且还包括了技术研发和人力资本的培养等等。

索洛以后对经济增长的模型分析发展的第二大方向是将生产率的变化内生化，设计专门的模型来解释新古典增长模型中的“技术”因素如何发生变化。这个方向上的重大发展，就是20世纪80年代以来兴起的“新”增长理论或“内生”增长理论分析。

这个方向上的发展又有两条不同的道路：一条道路是在最终产品生产函数自变量中加上“人力资本”，以“人力资本”数量的变化来说明物质资本和劳动这两种生产要素的生产率变化，而“人力资本”本身又是用各种生产要素、技术以致人力资本本身生产出来的；另一条道路则是设计专门的“生产函数”来解释“技术”本身的增长，这也就是所谓“将技术进步内生化”。而在“技术”本身的这些生产函数中，决定技术的增长的自变量其实也就是决定最终产品产量的那些自变量。

正是在这第二大方向上的突破导致了最近十几年中所谓“新增长理论”或“内生增长理论”的蓬勃兴起。在这个方向上，强调“人力资本”的分析以卢卡斯1988年的论文（Lucas, 1988）为代表，而注重“将技术进步内生化”的模型则以保罗·罗默1986年和1990年的两篇论文为代表（Romer, P. M. ，1986；Romer, P. M. ，1990）。

注重人力资本的经济增长分析有其单独的发展历史，但是自卢卡斯1988年的论文发表之后，它也变成了将生产率增长“内生化”努力的一部分。在最近这些年中，这个方向上的发展也在设计各种各样的“生产函数”来解释“人力资本”的增长，这些人力资本生产函数中的自变量同样也是决定最终产品产量的那些自变量。这与“新增长理论”发展的主流汇合在一起，形成了一股将最终产品生产函数中的各种自变量本身的增长“内生化”的潮流，这股潮流以最终产品生产函数中的各种自变量本身的投入来解释这些自变量的增长。

现在，新古典增长模型中的那些决定最终产品产量的自变量，在新的经济增长模型中几乎都被内生化了。在绝大多数新一代的经济增长模型中，唯一没有内生化的是人口（劳动力）的增长率，它通常还被当作是外生给定的增长率。

自新古典经济学产生之后，经济学家一般都把人口增长率的决定看作是别的学科解释的现象，认为经济学家只需接受别的学科的说明，把人口增长视为对于经济分析来说是外生给定的就可以了。但就是这个经济学家已经惯于不加说明的增长率也在逐渐被卷入内生化的潮流。

新古典经济增长理论之后经济增长模型分析发展的第三大方向就是将人口的增长率内生化，设计专门的模型来说明人口的增长率如何决定。巴罗和贝克尔1989年发表的论文（Barro and Becker，1989）可以算作这个方向上的代表作。这种将人口增长的决定内生化的经济增长模型不仅包含着有关人口增长的最优化决策，而且也列出了增加劳动力（人口）时所必须服从的投入产出关系，其形式与通常的“生产函数”相似。

这样，把最终产品的生产函数推广使用到最终产品生产函数的所有自变量的“生产”（增长）上，就成了当前经济增长模型分析发展的一大趋势。

但是一旦将最终产品生产函数所有自变量的增长内生化，经济增长的动态模型就要说明在每一时刻许许多多个变量同时发生的各种复杂的变化。这样的分析和动态跟踪描述的经济增长过程过于复杂，根据它无法对经济增长的动态过程作出概括性的说明，更无法得出经济增长过程的简要轮廓。而在稳态增长路径上，情况就相对简单得多，对稳态增长情况的说明因而可以概括得多。更重要的是，最新的经济增长模型要说明的首要问题，仍然是发达的工业化经济如何能在“卡尔多稳态”上运行。这就使得最新的内生增长理论比过去更甚地注重研究稳态的均衡增长。

内生化了的自变量增长率越多，经济增长模型中的生产结构问题就越显得突出。当最终产品生产函数所有自变量的增长率都由经济增长模型内生地决定时，或者至多只有一种自变量的增长率外生给定时，是哪些因素使整个经济的增长进入卡尔多稳态？例如，在这样的内生增长模型中，造成每一种自变量“物品”的稳态增长率都大于零的因素是什么？在这方面，有的新增长模型强调“技术”这种存量“物品”在其消费上的外部性，有的模型强调各种物品生产函数的规模报酬递增性质。到底是哪一种因素保证了每一种自变量“物品”的稳态增长率都大于零，哪些因素使最终产品生产和物质资本存量的稳态增长率高于人口增长率？

本书将以数学化的分析回答内生稳态增长模型的上述生产结构问题，以最终产品生产函数的各种自变量本身的“生产函数”为基础，讨论这些“生产函数”的哪些性质产生了稳态增长的各种特征、特别是“卡尔多稳态”。根据严格的数学推导，我们可以证明，给定各种资源配置于不同物品生产中的比例，“卡尔多稳态”的主要性质在数学模型上来源于各种自变量“物品”的生产函数的严格正则性和在全自变量规模报酬上的特点。本书将系统地阐述这些证明。

本书论证的主要论点可以概括如下：

——如果所有自变量“物品”都具有严格正则的生产函数，则任何物品的稳态增长率都不可能小于零。

——如果最终产品和所有自变量物品的总量生产函数都是严格正则且全自变量规模报酬不变的，则只要外生给定的增长率不多于一个，所有物品的稳态增长率就都会彼此相等；

——如果任何自变量物品都没有外生给定的增长率，则只要不是任何“物品”的生产函数都严格正则且全自变量规模报酬递减，某些物品的稳态增长率就可以大于零；如果所有自变量“物品”的“生产”都是全自变量规模报酬递增的，一个严格正则生产函数经济将不会有稳态增长；

——如果将最终产品总量生产函数各个自变量的增长率都内生化，则要在一个严格正则生产函数经济中达到“卡尔多稳态”，既使所有自变量物品的稳态增长率都大于零且并不完全彼此相等，就必须至少满足下列3个条件中的一个：或者是至少有一种自变量物品（如劳动力）的增长率是外生给定的；或者是某几种自变量物品的生产全自变量规模报酬不变且在生产中不使用生产上不是全自变量规模报酬不变的物品；或者是各种不同自变量物品的生产既有全自变量规模报酬递增的，也有全自变量规模报酬递减的。

本书还论证了在一个严格正则生产函数经济中，在哪些情况下，各种不同物品的稳态增长率解可能有相反的正负号，并且证明，在一些很平常的条件下，出现正负号相反的稳态增长率解只不过标志着一个经济最终将陷入增长率不断上升的爆炸性增长。

所有这些论点都围绕着本书的主题——满足内生稳态增长条件的形式化数量前提。这些论述将为研究内生经济增长模型确立判定和设立生产函数的准则。

本书的各章系统地论证了上述这些论点。

第一章将以抽象的数学形式来说明内生的稳态增长在数量上所必须满足的条件，这个条件说明了各种不同物品的稳态增长率相互之间的数量关系，是稳态增长所必须满足的必要条件。本书将满足这种必要条件的一组数值称作一个“稳态增长率解”。这一章还说明，如果所有自变量“物品”都具有严格正则的生产函数，则任何物品的稳态增长率都不可能小于零。

第二章讨论了所有各种物品的总量生产函数都全自变量规模报酬不变的情况，证明在这种情况下，只要外生给定的增长率不多于一个，所有物品的稳态增长率就都会彼此相等；还论证了两种及两种以上物品的增长率外生给定时，增长率非外生给定物品的稳态增长率是各种外生给定增长率的加权平均数，具体的权数取决于相应物品之间在生产上的贡献率。

第三章讨论了没有任何物品的生产全自变量规模报酬递增的情况，证明了在这种情况下，如果没有外生给定的增长率，所有自变量物品的生产都全自变量规模报酬递减，则该经济将不会有非零的稳态增长率；在这种情况下，如果至多只有一种外生给定的增长率，所有物品都参与增长率非外生给定物品的生产，则各种物品的稳态增长率解都不会有相反的正负号；此时如果非零的稳态增长率解为正，则外生给定的增长率最高，而全自变量规模报酬不变物品在稳态增长率上高于报酬递减物品。

第四章讨论了所有增长率非外生给定的自变量“物品”的“生产”都全自变量规模报酬递增的情况，证明了当所有自变量“物品”都具有全自变量规模报酬递增的生产函数时，各种不同物品的稳态增长率不可能全都大于零，一个严格正则生产函数经济将不会有稳态增长；当一种物品有外生给定的增长率，而其它物品的生产都全自变量规模报酬递增时，如果所有物品都有大于零的稳态增长率，则外生给定的增长率将低于任何其它物品的稳态增长率。

第三章已经证明，如果没有任何物品的生产全自变量规模报酬递增，则各种不同物品的稳态增长率解都不会有相反的正负号。第五章在此基础上讨论了不同物品的稳态增长率解有相反正负号的各种情况，证明了只要有一种自变量物品对其自身生产的贡献率大于1，不同物品的稳态增长率解就必然有相反的正负号；讨论了不同物品的稳态增长率解有相反正负号的其它几种情况，以及判断不同物品的稳态增长率解可能有相反正负号的标准；说明了在何种情况下，一种物品与另一种物品的稳态增长率解有相反正负号会导致第三种物品也与另一种物品有相反的稳态增长率解正负号；还证明了在一个严格正则生产函数经济中，不同物品的稳态增长率解有相反正负号只不过标志着该经济最终将陷入爆炸性增长。

第六章讨论本书关注的核心问题：在什么情况下不同物品的稳态增长率可以都大于零但又互不相等？这一章的最重要之处在于证明了：如果有一种外生给定的增长率，其它物品的生产既有报酬递增的，也有报酬递减的，则不同物品的稳态增长率可以都大于零但又互不相等；而如果没有外生给定的增长率，则一般说来只有在某些物品的生产全自变量规模报酬递增、某些物品的生产全自变量规模报酬递减时，才会有不同物品的稳态增长率都大于零但又互不相等。

第六章还讨论了上述规律的一个例外：在一种特殊的生产函数结构下，即使没有外生给定的增长率，一个只有报酬不变和报酬递减物品的经济，或者一个只有报酬不变和报酬递增物品的经济，也可能使不同物品的稳态增长率都大于零但又互不相等。这一章证明了，这种例外情况要求整个经济中的生产函数有特殊的结构：在稳态增长下，非报酬不变物品不影响报酬不变物品的生产。这时如果有多个报酬不变物品，这些报酬不变物品将有相同的稳态增长率，构成一个“相等增长率组”。

本书第三章的讨论已经指出：如果有一种外生给定的增长率，其它物品的生产全为全自变量规模报酬不变和递减，则所有物品的稳态增长率解可以有相同正负号但绝对值互不相等。第四章的讨论也说明了，如果有一种外生给定的增长率，其它物品的生产全为全自变量规模报酬递增，也可能有不同物品的稳态增长率解都有相同正负号但绝对值互不相等。这两章的讨论与第六章的集中论述结合在一起，使我们可以概括出这样一个结论：在一个严格正则生产函数经济中，要使所有“物品”都有大于零的稳态增长率而且这些稳态增长率并不全都彼此相等，通常需要使某些“物品”的生产全自变量规模报酬递增，而同时有另一些“物品”的生产全自变量规模报酬递减，至少必须有某些“物品”的生产不是全自变量规模报酬递增的，或者某些“物品”的生产不是全自变量规模报酬递减的。

第七章是本书的一个简短的结论，对本书论证的主要观点作了简洁的概括。这一章后面还附加了一个重要的补论，讨论了自变量物品在使用上的非竞争性对经济增长的作用。这一补论中说明的主要论点有：

——任何自变量物品在“同种物品生产上的非竞争性”，都通过提高其参与的物品生产的全自变量规模报酬程度，不仅对经济增长有“水平效应”，而且对经济增长有“增长效应”。但是“同种物品生产上的非竞争性”在提高经济增长率上的这些作用，都必须通过、也只能通过提高其参与的物品生产的全自变量规模报酬程度。

——即使所有自变量物品的增长率都内生决定，进入“卡尔多稳态”增长也并不要求任何物品的生产性使用上存在“不同种物品生产之间的非竞争性”和“外部性”。

——自变量物品使用上的非竞争性有“水平效应”，它增加任一时点上的自变量物品存量和最终产品产量的水平，从而会改变平衡增长的路径。

——自变量物品使用上的非竞争性可能通过两个途径产生“增长效应”，改变稳态增长率：第一个途径是改变进入稳态增长时自变量物品相互之间在生产上的贡献率系数，第二个途径是改变进入稳态增长时的自变量物品存量，由此改变整个经济进入稳态增长时各种不同物品的稳态增长率。

总的来说，本书各章的论述都紧紧围绕着一个主题：最终产品的总量生产函数及其自变量的“生产函数”上的哪些特点，可以保证一个经济进入“卡尔多稳态”增长？这就是本书所要讨论的“内生稳态增长模型的生产结构”。这实际是讨论如何从生产函数方面满足内生稳态增长的条件。

当然，要论述满足内生稳态增长条件的前提，就必须先阐明内生稳态增长的条件本身。本书第一章论述的就是内生的稳态增长在数量上所必须满足的条件。

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关键词：增长模型 生产结构 左大培 中国社会科学出版社 Koopmans 模型 导论 结构 左大培 稳态