对数线性化是在解非线性差分方程组(nonlinear difference equation system)的时候用的一种线性化方法。这个方法在微分方程上面也有用过,但是在宏观经济学上面一般都是采用差分方程,所以自然我们要学习的内容是如何线性化差分方程。
这看似是一个小步骤,但是很重要,我曾经麻烦三个人帮我对数线性化一个高度复杂的带有期望的(expectation operator)的非线性方程,他们分别是我导师,一个教新凯恩斯货币经济学的教授,还有个博士。我相信他们的实力完全是可以处理这个的。但他们三个在线性化之后,结果全部都大不相同,完全可以影响到后面用待定系数法(undetermined coefficient method)来解这个方程组的结果了,因为不同的线形化结果导致不同的函数形式(functional form),必然系数也会不同。
我问一个博士,你写论文的时候,你确定你所有对数线性化都弄对了?他说:no, of course not, but this is how business goes。我自己写论文的时候,我觉得最悬的一个技术处理,就是对数线性化。函数形式简单到没问题,只要一复杂起来,对数线性化过程中方程会变得很恶心,非常容易出错。
还有个问题,似乎没有任何一本教材专门给过篇幅来总结这个技术,所以我写了个notes,希望能把这个技术总结好。我一共提供了五种方法,其实这五种方法大多数情况下可以交替使用,但是有时候不行(比如有期望的时候不能提对数)。不同的函数形式用不同的方法,只用一种方法对付所有问题会很麻烦。