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楼主: remlus
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[其他] 一条数学证明 [推广有奖]

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remlus 发表于 2013-3-3 19:31:47 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
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设f是一个从实数R到实数R的函数,并满足f(m+n+1)=f(m)+f(n),证明:对于所有实数x,都有f(x)=1+x成立。

(记得,是实数啊,光证明整数不够的)

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因f(m+n+1)=f(m)+f(n),所以,f(x+0+1)=f(x)+f(0)=f(x)+1, 即f(x+1)= f(x)+1,即f(x+1)- f(x)=1,即f(x+1)- f(x)=(x+1)-x; 因(x+1)-x不为0,式子可变形为:[f(x+1)- f(x)]/[(x+1)-x]=1; 上式对任意的x都成立,又f(x)是连续的,所以f(x)为线性函数。 设其表达式为:f(x)=x+h.因f(0)=1,f(0)=0+h=1,即h=1. 所以,对于所有的实数x,有f(x)=1+x. 这个是百度知道上的。
关键词:数学
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pkdell 发表于 2013-3-3 19:31:48 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
因f(m+n+1)=f(m)+f(n),所以,f(x+0+1)=f(x)+f(0)=f(x)+1,
即f(x+1)= f(x)+1,即f(x+1)- f(x)=1,即f(x+1)- f(x)=(x+1)-x;
因(x+1)-x不为0,式子可变形为:[f(x+1)- f(x)]/[(x+1)-x]=1;
上式对任意的x都成立,又f(x)是连续的,所以f(x)为线性函数。
设其表达式为:f(x)=x+h.因f(0)=1,f(0)=0+h=1,即h=1.
所以,对于所有的实数x,有f(x)=1+x.
这个是百度知道上的。
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平凡的不平凡

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lc19940813 在职认证  发表于 2013-3-3 20:33:34 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
f(x)=k(1+x)吧。。。。

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remlus 发表于 2013-3-3 22:00:20 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
pkdell 发表于 2013-3-3 20:24
因f(m+n+1)=f(m)+f(n),所以,f(x+0+1)=f(x)+f(0)=f(x)+1,
即f(x+1)= f(x)+1,即f(x+1)- f(x)=1,即f(x+1) ...
放个20币的东西我来买,谢谢。

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pkdell 发表于 2013-3-4 10:41:55 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
没做过类似的,就直接参考了。

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平凡的不平凡

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缺少条件,还在乱证明。

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chshzheng 发表于 2013-5-2 22:23:45 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
上面证的显然不对,怎么就导出f(0)=1的?

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remlus 发表于 2013-5-2 22:49:56 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
chshzheng 发表于 2013-5-2 22:23
上面证的显然不对,怎么就导出f(0)=1的?
可能要用数学归纳法才行吧。

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lightningbao 发表于 2013-12-3 17:52:21 |显示全部楼层 |坛友微信交流群

我好闲

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909238385 发表于 2014-4-9 12:28:21 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
楼上大神

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