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雷达卡
对于Interest rate model的研究，经历了几个比较重要的阶段的发展。
从Vasicek 1977年的开山之作，到1985年CIR的对于负利率问题的改进，再到1992年HJM对于forward rate建模，发展到最新的以SABR为代表的模型。
Vasicek的论文诞生于人们刚刚开始认识到yeild curve即term structure 形态的问题。他于1977年在Black-Scholes的模型框架的基础上，得出了利率的期限结构以及bond的pricing方法。他的论文里第一次直接应用了risk neutral pricing和提出了market price of risk的概念。Vasicek的研究其实涵盖了一切single factor的spot rate model，我们熟知的Vasicek Model只是他论文里的一个specific example。
Vasicek 提出他的利率模型之后，大家发现有一个问题，即在Normal的框架下，利率可以是负数，为了解决这个问题，CIR三人于1985年在Econometrica上发表了他们对于Vasicek 模型的改进模型，即CIR 模型。其中著名的CIR 过程中包含利率的根号项，因此保证了利率不为负数。但是同时，为了不让大家诟病说，CIR模型只是Vasicek Specific example 2，CIR在建立term structure模型(CIRb)之前,于同年同一本杂志上，发表了CIRa，构建了一个一般均衡经济，使得利率过程可以由这个经济的均衡状态imply出来，为他们的CIR模型提供有力依据。CIR模型也是一个比较经典的非Normal的模型之一，他的利率满足non-central的卡方分布。
Vasicek和CIR同属所谓的equilibrium model，即第一代模型，他们注重对于yield curve本身的刻画，但是对于curve的变化却不关心。于是另一类叫做no-arbitrage的模型诞生了，即第二代模型，早期比较有代表性的比如Ho-Lee 模型等。其中最为著名的是HJM模型。HJM是所谓的forward rate model，他的创新之处在于他将今天的yield curve作为已知的变量（或者说是初始条件），研究curve随时间的变化。HJM的模型亮点在于，首先，他其实不是一个模型，而是一大类模型，因此很general，其次，HJM模型能够推出如果市场无套利，forward rate在risk neutral measure下其drift term只跟波动率有关，和别的东西无关。因此可以说HJM模型，完全由forward rate的波动率决定，对于这么general的model来说，有如此干净和漂亮的结果，已经很不容易了。
随着利率模型的发展，新的模型继续出现了，其中比较有代表性的属SABR模型。SABR模型，我觉得可以算是两代半模型，他的所要刻画的是interest rate volatility smile的问题。因此引入了随机波动率。SABR的名字也很有意思，叫Stochastic Alpha Beta Rho Model. 具体内容比较复杂，笔者也没有很深入的研究。
这里附上4个模型的原文，希望对大家的学习有启发。
附件见帖子：
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