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应用随机过程讲义
APPLIED STOCHASTIC PROCESSES
G.A. Pavliotis
Department of Mathematics
Imperial College London
London SW7 2AZ, UK
January 18, 2009
英文版
Contents
1 Introduction 7
1.1 Historical Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 The One-Dimensional Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Elements of Probability Theory 13
2.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Basics of the theory of Stochastic Processes 19
3.1 Definition of a Stochastic Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Stationary Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Strictly Stationary Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Second Order Stationary Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 Ergodic Properties of Stationary Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Other Examples of Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.1 Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.2 Fractional Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.3 The Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 The Karhunen-Lo´eve Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 The Path Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Markov Processes 39
4.1 Introduction and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Definition of a Markov Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 The Chapman-Kolmogorov Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 The Generator of a Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 The Adjoint Semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6 Ergodic Markov processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7 Stationary Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Diffusion Processes 53
5.1 Definition of a Diffusion Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 The Backward and Forward Kolmogorov Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.1 The Backward Kolmogorov Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.2 The Forward Kolmogorov Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 The Fokker-Planck Equation in Arbitrary Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Connection with Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 The Fokker-Planck Equation 61
6.1 Basic Properties of the FP Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.1 Existence and Uniqueness of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.2 The FP equation as a conservation law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.3 Boundary conditions for the Fokker–Planck equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Examples of Diffusion Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2.1 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2.2 The Onrstein-Uhlenbeck Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2.3 The Geometric Brownian Motin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 The OU Process and Hermite Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4 Gradient Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.5 Eigenfunction Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.6 Self-adjointness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.7 Reduction to a Schr¨odinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.8 The Klein-Kramers-Chandrasekhar Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.9 Brownian Motion in a Harmonic Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.10 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 Stochastic Differential Equations 97
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 The Itˆo Stochastic Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2.1 The Stratonovich Stochastic Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3 Existence and Uniqueness of solutions for SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4 Derivation of the Stratonovich SDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.5 Itˆo versus Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.6 The Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.7 The Itˆo Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.8 Examples of SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.8.1 The Stochastic Landau Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.9 The Backward Kolmogorov Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.9.1 Derivation of the Fokker-Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8 The Smoluchowski and Freidlin-Wentzell Limits 113
8.1 Asymptotics for the Langevin equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 The Kramers to Smoluchowski Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.3 The Freidlin–Wentzell Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9 Exit Time Problems and Reaction Rate Theory 127
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.2 Kramers’ Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3 The Mean First Passage Time Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3.1 The Boundary Value Problem for the MFPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.4 Escape from a potential barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.4.1 Calculation of the Reaction Rate in the Smoluchowski regime . . . . . . . . . . . . 131
9.4.2 The Intermediate Regime: γ = O(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.4.3 Calculation of the Reaction Rate in the energy-diffusion-limited regime . . . . . . . 133
9.5 Extension to Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.6 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
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