数学的精神[转]

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数学的精神(省身自在)[转]

经典的数学优美，现代的数学除了优美，更有壮美。然而数学的精神，自从发皇于古希腊，古今一贯，从未中决，一切的现代学问中，最能守持古典精神的，仍是数学。
   
    一、“数学好玩”
    陈省身先生去世八年了，但是读《陈省身传》，使我觉得这位大数学家仍然活着，声音笑貌，宛然目前。书中引了一首杨振宁的旧体诗，几千年的几何学历史，最简练的概括，就在诗句里：“千古寸心事，欧高黎嘉陈。”
    几何学真的只是“寸心事”，几何学的历史真的只是“寸心”的传承与光大，而这“寸心”能运用于万汇物理，天衣有缝，依其剪接，微子聚力，赖其笼络，又真的是“浑然归一体，广邃妙绝伦”。陈省身自谦“罗汉”，但在几何学的殿堂里，他实在是一尊端坐于欧几里得、高斯、黎曼和嘉当之列的菩萨。《陈省身传》初版于传主的生前，这次修订再版，若干的增补中有一则趣事：陈省身临终前不久曾为少年数学爱好者题词：“数学好玩”；佛菩萨真的是触处见机，咳唾都是“心法”啊。
    《陈省身传》的两位作者，主笔的是张奠宙教授。张教授是在泛函分析研究上取得过骄人成绩的数学专家，又是一位胸有全局的数学通人。“文革”结束不久，在国门依旧封闭的情况下，他就开始全面考察世界现代数学的发展和成就，历史轨迹和数学思想并重，所成《二十世纪数学史话》，启迪人至深，当时陈省身就非常称赞并着力推介。2002年，张教授又成《二十世纪数学经纬》一书，内容加深加广，构思阔大，论述精到，较之“史话”，俨然一部有规模的现代数学通史了。《陈省身传》的另一位作者王善平是张教授的学生，他说自己“只是收集整理材料；当然，学到了很多”。是的，这样的书，就是读一遍，就是随便翻翻，也能“学到很多”，更不必说“整理材料”，参与写作了；这样的经验是那些为了“对得起”经费的课题写作无法比拟的。
    两位作者还编过一本《陈省身文集》，主要收集陈省身的研究性论文之外的文字，但例外地收了陈省身自称“我一生最得意的工作”——《闭黎曼流形高斯-博内公式的一个简单的内蕴证明》一文；是王善平从美国《数学纪事》（Annals of Mathematics）1944年卷中译过来的。2002年8月，第24届国际数学家大会在北京召开，张奠宙校、王善平译的《数学无国界》一书同时出版，这本书讲述一百年间国际数学家大会以及主办大会的国际数学联盟的历史，作者是曾任联盟主席的奥利·来赫托。书名传达了数学的真精神。2011年，为了纪念陈省身百年诞辰而出版的《陈省身与几何学的发展》一书，编辑工作主要也是由王善平担任。这些书可以互相“链接”，不同需求的读者自能各取所需，开卷得益。

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关键词：mathematics Mathematic Thematic annals Mathe 数学

二、“经典的”与“现代的”   

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陈省身是一位不世出的几何学家，他有伟大的贡献。记得“文革”中毛主席会见杨振宁，曾说：“你是对人类作了贡献的人，我不是。”如果他会见陈省身，也当如是说。
    众所周知，几何学是研究空间的性质和结构的。凭人类生而俱来的肉身感官，人们也许觉得空间很简单，还不是四方上下平直均匀无限延伸，有什么结构，谈什么性质。但是，一经数学用符号和数量关系把空间改制为抽象的、思想上的对象或实体，就大有文章可做了。
    高斯用微积分的观点和方法，处理嵌在平直空间里的曲面，所得结果使思维进入新的层面：有充分的理由把曲面本身看作“内蕴空间”。空间就是曲面，曲面就是空间。人类直观到的三维空间，无非是加上时间以后四维空间里的一个“曲面”，或者说“超曲面”。空间可以是不平直的，可以处处有“曲率”；平直空间不过是曲率为0的曲面。
    爱因斯坦研究引力作用、建立广义相对论时，已经有黎曼的曲面上的微分几何在等着他，爱翁是经由他的好朋友格罗斯曼的介绍，认识黎曼几何的。“广相”的结论竟然是：引力作用不是什么物与物之间的互相“吸引”，而是空间的“曲”性有以致之。
    曲率是曲面的局部性质，曲面还有整体结构。同为橡胶制品，足球和汽车轮胎的表面显然是整体结构不同的；轮胎倒是和面包圈结构相同。不难想见，曲面的整体结构可以非常复杂，复杂到无以复加。所以微分几何先是研究曲面的局部性质，而后才发展出整体微分几何。整体微分几何需要用拓扑的观点看曲面，把它定义为“流形”（manifold）。
    整体微分几何的兴起和发展，是一个起死回生的过程。1943年陈省身初到普林斯顿，外出赴会，火车上邂逅一位美国有名的数学家。倾谈间，那位数学家听陈省身说是研究微分几何的，随口应道：“Oh！它死了！”经典微分几何在曲面局部性质上取得了许多优美成果，但因观点、方法、工具限于分析（即微积分）的范围，发展已臻止境，是死了。但这是火凤凰之死，她会重生，她会在更高的拓扑观点的观照下，在拓扑、代数、分析诸多工具的锤炼下重生。陈省身就是现代微分几何一位最重要的催生者和奠基者。

数学有“经典的”与“现代的”之分。发思古幽情的现代人，往往喜欢“经典的”东西，不喜欢“现代的”东西，文章、艺术、建筑，无不是古胜于今。数学不同，数学显然是“现代的”胜于“经典的”，现代数学把经典数学吃进去了，消化掉了，几乎没有排出什么“糟粕”；经典的数学优美，现代的数学除了优美，更有壮美。然而数学的精神，自从发皇于古希腊，古今一贯，从未中绝，一切的现代学问中，最能守持古典精神的，仍是数学。菲尔茨奖没有奖金，只有奖章，但它是数学界的最高荣誉，奖章上刻着的是古希腊阿基米德的头像。

    1943年至1946年，不到三年间，陈省身在普林斯顿从事现代微分几何的奠基工作，使得关于流形整体结构的纤维丛理论基本成形。他把高斯-博内公式从二维推广到高维；他把欧拉-庞加莱示性数、施蒂菲尔-惠特尼示性类等刻画整体的概念和局部的曲率联系起来；他又把一般微分流形的球丛推广到复流形上的复球丛，引进了一种全新的示性类，后来称为“陈类”（Chern Class），时至今日，陈类已经是现代数学中的一个基本概念。

    1945年夏，陈省身在美国数学会大会上作题为“大范围微分几何若干新观点”的报告，系统阐述了整体微分几何的新思想和新方法。老一辈的拓扑学和几何学权威霍普夫听后评论说：“这篇演讲表明大范围微分几何的新时代开始了。这个新时代以纤维丛的拓扑理论和嘉当外微分方法的综合为特征。”半个世纪后，美国数学家辛格表达了所有追随和接续陈省身工作的学生后辈的共识：“陈省身就是现代微分几何。”菲尔茨奖得主邱成桐更明白宣示：“现代微分几何，嘉当是祖，陈省身是父。”

    嘉当是陈省身的老师，他的外微分方法是一根“魔杖”，真懂和能用的人很少，连堪称希尔伯特之后最大数学家的外尔都说：“嘉当的书难读。”但陈省身掌握了这根魔杖，独得之秘，运用自如。1991年张奠宙问过陈省身：“现在大家都能够很好地理解嘉当的思想了吗？”陈省身回答：“不一定。我可以保留这种秘密武器，别人做不出的结果，我可以做出来。”

    1984年，陈省身获沃尔夫奖，这个奖可以与菲尔茨奖并列，是数学的终身成就奖，颁奖词特别指出：“他在整体微分几何上的卓越贡献，其影响遍及整个数学。”被认为20世纪两项最伟大的数学成就之一的阿蒂亚-辛格指标定理（另一个是费尔马大定理的证明），也是以陈省身的工作为基础的。辛格在贺陈省身八十寿辰的文章中说：“对陈省身在局部和整体几何中能如此有效地运用微分形式感到惊异。”这所谓“微分形式”，就是陈省身的独得之秘，嘉当的魔杖。陈省身的同行们推崇他对现代几何的贡献，同时也欣羡他“对丰富和美丽的经典几何十分娴熟，这在数学界已经非常罕见”。


陈省身（1911-2004）是一位不世出的几何学家

谢谢谢谢

三、几何与物理    陈省身一生的外在形迹，可以说很平常，很顺利，没有曲折的遭遇，没有离奇的故事；他的不平常，是他念兹在兹的精神世界，是他为数学建立的不朽功业。《陈省身传》的最大好处，就在于通过陈省身一生行事的叙述，忠实地、几乎又可以说是酣畅淋漓地再现了他的精神生活；同时，围绕着陈省身的数学成就，带出了一部现代几何学的历史及其诸多关联，特别是与物理学的关联。
    书中涉及几何和物理的具体内容，某些概念、命题和论述不容易懂，但是张奠宙教授以其对所述内容的深刻理解和准确把握，出之以他所特有的通俗化本事，铺陈为文章，即使外行的读者，在似懂非懂之间，也能感受到现代高深数学和物理学的优美和壮美。
    精彩的一例，杨振宁于1954年提出粒子物理学的规范场理论，流形上的纤维丛理论则是数学家在与物理完全无涉的情况下发展的，两者竟有高度的一致性，连各自的术语都能规整地一一对应。杨振宁弄清楚规范场与纤维丛的关系后，连呼“奇迹”，特地驱车前往陈省身的家中，两位科学大师共享奇迹的发现，赞叹之余，转生困惑，旧学新知，疑义相析，这正是穷究天人之际的学问商量啊。
    讲完整个故事，作者有一段议论：“在发现规范场和纤维丛关系之前，陈省身很少关注物理。他只是埋头研究他钟爱的数学，把微分几何的房间打扫得清静干净，里面的物件井井有条，四周不乏华丽的装饰，使这所数学宫殿富丽堂皇。但是，当他打开窗户一看，外面是辽阔的物理学大海，清风徐来，海天一色，无限壮观，几何宫殿和物理大海竟然如此的和谐统一，只能感叹造化之巧。”这样的文字，能启发读者深思，引起同样的感叹。规范场和纤维丛，是用不同语言写的两篇大作，作者各不相谋，文章铢两悉称，仿佛互相的对译。这背后一定有更深的原因，原因何在呢？不在人际，在天人之际，在“道可道，非常道”的“造化之巧”。
    陈、杨两家有特殊因缘，陈省身的丈人郑桐荪和杨振宁的父亲杨武之是清华同事，陈省身是他们的学生，后来也是同事；陈省身的婚事还是杨武之极力撮合的呢。杨振宁曾比喻数学与物理“像两片有共同根茎的树叶，顺着各自的脉络，奔赴生命的前程”。陈数学，杨物理，“各自奔赴生命的前程”，竟又在造极之境上欢然相会。“谁为为之？孰令听之？”造化的安排真是不可思议。
    陈省身是握了道枢的人；这之后，他就经常讲几何与物理的关系了。1999年，他在复旦大学演讲，主题是“物理就是几何”，一句话把牛顿、麦克斯韦、爱因斯坦、杨振宁一网打尽。你看牛顿的主要方程（第二定律），再看爱因斯坦的“广相”方程，写出来简单，都是一边几何量，一边物理量，“物理就是几何”。麦克斯韦电磁场方程很复杂，写出来一大堆，得占一整页，学者苦于难记；陈省身却能把它们简约为两个不能再短的式子：dA=F，δF=J，其解释是“纤维丛上有一个平行性，这个平行性的微分等于场的强度；而场的强度经过某个运算就得到它的流矢量”；仍是“物理就是几何”管着。最妙的是，杨振宁的规范场方程竟然也是这两个短式，当然解释不同。什么叫“茅塞顿开”？什么叫“豁然贯通”？什么叫“醍醐灌顶”？什么叫“一句顶一万句”？陈省身的话就是。陈省身已然顿悟，金针度人，向众生说法，任何人想要开悟，当然还得勤精渐修。陈省身已经把要做的功课开示了，有志者就依次修习吧。

四、“知其不知”与“知所不知”

   

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陈省身说自己：“我会做数学，我也只会做数学。”但其实，他很有办事、行政的能力，他甚至“玩”过政治。晚年谈起西南联大事，他笑说：“我也会玩politics，那年改选教授评议会，年轻的把年长的挤出去了，我是一个发动者。”这件事影响不小，还劳动校长梅贻琦的大驾，来找他“谈判”。陈省身认为管理国家，主要是政策好，方向对，管是不难的。新加坡总理李显龙在剑桥读过数学，陈省身借事发挥：“数学家可以管国家，而管国家的却做不了数学。”他好像有点瞧不起政治。

    他领导过好几个研究所，宗旨始终是：“凡有利于数学的，总要去做；凡与数学无关的，请勿打扰。”他说：“我办事的原则就是少管事。办研究所最要紧的是把有能力的数学家和学生找来聚在一起，之后就不要管了。”他对申请经费之类有点头痛：“动不动就要你的计划，但是照计划做出来的不会是最有价值的，最好没有计划。”好在陈省身是尊菩萨，管钱的愿意借花献佛，大有人在。陈省身研究、教学、办事、行政，都是为了数学的利益，他个人的荣誉和利益，是与数学的利益完全一致的。

    陈省身经常说：“数学没有诺贝尔奖是幸事。”数学没有诺奖，但有菲尔茨奖、沃尔夫奖、阿贝尔奖、罗巴切夫斯基奖、维布伦奖等等。有什么区别吗？重要的区别在于：诺奖已经严重地大众化了，诺奖已经是大众社会（mass society）里的事了，诺奖得主与大众的关系已经是“明星”与“粉丝”的关系了。

    你到街上取样，随机抓十个人来问，人人知道诺奖，几乎没人知道菲奖或沃奖，遑论维奖、罗奖、阿贝尔奖。2002年北京开国际数学家大会，中国的媒体上最出风头的不是那一年的菲奖得主，也不是那届大会上做一小时报告的人；最出风头的两位，一位是坐在轮椅里研究宇宙学的物理学家霍金，另一位是得了经济学诺奖的数学家纳什。纳什肯定不懂经济学，却由于一篇他自己都认为“不起眼”的数学论文引发许多经济学研究，而得了经济学诺奖；他数学了得，心心念念想得菲奖，总不遂愿，因此精神一度失常，也属失计。菲奖是懂行同行的肯定和评价，是自然之光下的最高荣誉；诺奖也是，但在诺奖，自然之光被舞台之光掩蔽，舞台之下是mass。mass另有木知木觉块然大物一义，蠢动起来，势如飓风，力能崩山，明星与mass，真不知道谁播弄谁。没有诺奖，对于数学“这片安静的世界”确实是幸事。

    南朝释慧皎撰《高僧传》，自序里说：“前代所撰，多曰名僧。然名者，本实之宾也。若实行潜光，则高而不名；寡德适时，则名而不高。”于是区分了“高”和“名”。其实“高”也是“名”，“高”是高名，“名”是大名。诺奖与菲奖、沃奖的区别在于：诺之高名，可能被大名所掩，菲、沃则否。陈省身、邱成桐师徒，都是既高且名的大师；当今数学家，高而不名者，有一人焉，俄罗斯人佩雷尔曼。佩氏在本世纪初成功证明了庞加莱猜想，这是克莱研究所公布的新千禧年七大数学难题的第一题。2006年国际数学联盟给他菲尔茨奖，他没有要；2011年克莱研究所给他百万美元奖金，他也没有要。他说：“如果我的证明是正确的，就不需要任何其他形式的肯定。”

佩雷尔曼也许是截断众流的孤傲，陈省身则精神内守，而又随波逐浪，佩氏大推开，陈氏大洒脱，二者皆好。依佛老语说，陈省身更为圆熟，佩雷尔曼毕竟不是中国人。但若言数学精神的直接呈现，则似乎佩氏更为昭彰。数学是一项值得人为了她的自身，而不是为了她所能带来的东西而从事的事业。数学的成就是自我界定的，不像跳高、跑快之类，必须从外面、用奖金名次等来界定，不求名次奖金，一天到夜练跑快，那是练傻。陈省身经常说：“为了个人名利，数学不是一条坦途。”名利之徒进入数学，他得有所改正。人说政治是屁股指挥脑袋，我说数学能脑袋端正屁股。

    苏格拉底认定最高最幸福的生活是哲人的生活，是追求知识。《陈省身传》的作者则称“数学家的精神毋宁说是诗人的或哲学家的。他们是发现和讴歌自然秩序的美的诗人，是寻找精神归宿和营造精神家园的哲人”。数学精神的源头在古希腊哲人那里。

    “追求知识”的题中应有之义是知识不能被占有，所以没有“智者”（sophist）；如果知识比作财富，“智者”就是大富翁，然而知识不是财富。哲人的基本状态是“不知”，追求知识的前提是“知其不知”，所以真正的知识必然是“无知之知”（knowledge about ignorance）。

    怎样才能建立追求知识的前提，“知其不知”呢？善解古希腊哲人精义的现代大哲列奥·施特劳斯像庄子一样说话了：“不知其不知，以不知其所不知也。”（One can not know that one does not know without knowing what one does not know。）陈省身以九十岁的高龄，还在研究“六维球面上是否存在复结构”的难题，他深知“所不知”在哪里，故知其不知，而不安于不知，在“所不知”的指引下努力探索，精神明显是古希腊的。陈省身平时说话，喜欢借佛语、庄子语，但临终却说：“我要去希腊朝圣了。”

    庄子也教人“知其不知”，但主张安于不知，“弃圣绝智”。这境界也好，“不求甚解，每有会意，欣然忘食”的五柳先生便是这境界里的一个典型。但如果五柳先生忘食而未尝忘言，舌粲莲花，滔滔不绝之下，恐怕会陷于“不知其不知”，而自以为知了。五柳先生，可是“现代的”大不如“经典的”啊。(陈克坚）

hylpy1 发表于 2015-7-5 21:40
二、“经典的”与“现代的”   **** 本内容被作者隐藏 ****

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