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楼主: zhjx19
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[其他] 【原创】概率论与测度论之间联系的通俗解释 [推广有奖]

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zhjx19 发表于 2016-3-10 09:10:54 |显示全部楼层 |坛友微信交流群

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测度论是概率论的理论基础,所以概率中的一些概念抽象化就是对应的测度论中的概念。



概率是要度量“事件发生的可能性”的大小,事件的抽象化描述就是集合,需要考察“事件的全体”,对应到测度论就是“集合系”。“事件发生的可能性”是对事件的一种度量,对应到测度论就是“集合的测度”。



不是每个事件都可以定义其概率(发生的可能性的大小)的,对应的就是不是每个集合都可以定义测度,可以定义测度集合就是可测集。同时,事件必然要涉及到事件的组合运算(复杂事件是可由基本事件表示出来),对应的就是集合的交、并、差、余、极限的运算到复杂集合,所以又需要保证做可列次这些运算不能超出全体范围(即可测集的范围要足够大,以保证集合的可列次交、并、差、余、极限的运算,之后还在里面)



那么什么样的集合系,才能保证其中的集合是可测集(可以定义测度,又对那些运算封闭)呢?测度论中讲了,只要集合系是σ-代数(也叫σ-域)就可以了。σ-代数的基本定义是:1. 全集在里面;2. 里面每个集合的余集在里面;3. 里面任意可列个集合的并集在里面。有了这三条基本定义,就可以推出:空集、可列次交、并、差、上限集、下限集运算之后都能在里面。就满足需要了。



所以,集合X + 该集合上的一个σ-代数F,(X,F)就是一个可测空间了,即可以定义测度的空间(F中任一集合都可以定义其测度(某种度量))。进一步再定义了测度μ,那么(X, F, μ)就是测度空间。


对应到概率论中,样本空间Ω,事件域F(是个σ-代数),概率测度P,放一起(Ω,F,P)就是概率测度空间。概率测度P是满足特殊要求的一种测度:P(Ω)=1.


Borel Feild就是Borel σ-代数,表示实数轴上的σ-代数,可由实轴上的所有开集生成(的σ-代数),也可由实数轴上所有的(-∞,a]这样的区间生成(σ-代数),是相等的。按σ-代数前面说的,实数轴上开集、闭集的至多可列次交、并、差(余)、上限集、下限集、极限集的运算,都超不出该Borel σ-代数的范围。



Borel σ-代数(我用Br表示)有什么用?其实概率论中的随机变量,对应测度论中的可测函数,而可测函数就是从可测空间(X,F)到(R,Br)的可测映射:即Br中的任一集合在该映射下的原像都属于F(即都是X上的可测集)。


再说说随机变量,前面说了概率论中要用集合表示事件,但事件五花八门,怎么统一用一种简单的集合表示呢?这就用到映射的概念,建立一种从样本空间(基本事件的全体)到实数轴的映射(一一对应)就可以了,这种映射就是随机变量。有了它,基本事件映射到实数轴上就是的基本区间,基本事件经过运算生成的复杂事件,映射到实数轴上就是实数轴上Borel σ-代数中的集合。


因为有了这个对应关系,要度量事件发生的可能性的大小(即概率测度),只要度量实数轴上Borel σ-代数中的集合就可以了(前面说了Br因为是σ-代数是可以定义测度的,给Br中的集合定义概率测度就行了)。


所以,随机变量的测度论语言定义是这样的:设(ΩFP)为概率测度空间,若对实数轴上Borel σ-代数中的任一集合(称为Borel集)B,都有 {wΩ: X(w) B} F,则称X(w)为随机变量。


总之,随机变量就是建立了随机事件实数轴上Borel σ-代数的一种对应,并且保证了建立了这种对应的随机事件都是可以定义概率测度的。


既然随机事件{wΩ: x(w) B}属于F,那么可以有概率,即P{wΩ: x(w) B}是有意义的,为了简单,概率中就记P{wΩ: X(w)B} = P{X B} 了。


特别地,若取B=(-∞,x), 则事件{XB}的概率

P{XB} = P{X≤x} :=F(x)

就定义成随机变量X的分布函数。因为对任意的区间(a,b], 都可表示成

P{X (a,b] } =P{a<X≤b} = P{X≤b} - P{X≤a} = F(b)-F(a)

进而,由这样的区间经过至多可列次交、并、差运算的复杂的实数轴上的Borel集都可以用F(x)给出其概率。


当然,随机变量也可以定义为从样本空间到平面R2上的映射,就是二元随机变量。


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关键词:测度论 概率论 Borel 随机变量 概率测度 概率论 测度论 联系 通俗解释

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crossbone254 发表于 2016-3-10 10:49:10 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
这感觉对没接触过测度论相关概念的人而言还是不够通俗

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wiener 发表于 2016-3-11 08:39:12 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
手动支持一下楼主的做法,继续加油。

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foozhencheng 学生认证  发表于 2016-3-13 00:02:33 来自手机 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
我同意一楼的说法,对于不了解测度论的人来说,这样的说法还并不通俗~

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wintersoming 发表于 2017-9-25 10:14:46 来自手机 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
看到很多书上都说测度空间到Br的可测函数等价于总体中的每一个样本点与实数轴上的每一个数对应,不知道这种说法是对是错....

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sunchuntao 发表于 2017-10-4 19:10:37 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
张见识了,谢谢楼主

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西门高 发表于 2017-10-5 15:34:25 来自手机 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
zhjx19 发表于 2016-3-10 09:10
测度论是概率论的理论基础,所以概率中的一些概念抽象化就是对应的测度论中的概念。

概率是要度量“事件 ...
谢谢分享

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tianwk 发表于 2019-6-30 00:28:07 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
thanks for sharing

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www8810 发表于 2020-4-4 19:26:36 来自手机 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
zhjx19 发表于 2016-3-10 09:10
测度论是概率论的理论基础,所以概率中的一些概念抽象化就是对应的测度论中的概念。

概率是要度量“事件 ...
感谢楼主,说的很细致,通俗易懂,感谢你

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