实变函数笔记

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kankanle

hylpy1 发表于 2016-3-29 15:51
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近代回归分析陈希孺

共191页，
目录
前言i
概论1
0.1 连续函数的极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 曲线长度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.3 微分与积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.4 Riemann 积分的局限性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.5 Lebesgue 积分与Lebesgue 测度. . . . . . . . . . . . . . . . . 4
第一章集合与点集6
1.1 集合的运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 映射与基数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 映射. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 特征函数与幂集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 基数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Rn 中的点集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Rn 中的度量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 领域, 内点, 开集, 闭集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3 极限点, 闭包. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.4 闭集上连续函数的延拓定理. . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.5 Cantor 集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Borel 集与纲性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
第二章Lebesgue 可测集47
2.1 环上的测度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1 环Rn0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2 环Rn0 上的测度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 外测度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3 Lebesgue 测度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4 Lebesgue 可测集与Borel 集的关系. . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5 Lebesgue 测度的完备性问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5.1 Lebesgue 不可测集的存在性. . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5.2 测度的延拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
第三章Lebesgue 可测函数79
3.1 Lebesgue 可测函数的定义及其性质. . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 Lebesgue 可测函数的结构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 几乎处处收敛与依测度收敛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.1 几乎处处收敛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.2 依测度收敛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4 函数可测的充要条件及复合函数的可测性. . . . . . . . . . . 98
第四章Lebesgue 积分101
4.1 测度有限集上非负可测函数的积分. . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 一般可测集上一般可测函数的积分. . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3 Lebesgue 积分的极限定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4 Lebesgue 积分与连续函数之间的关系. . . . . . . . . . . . . . 132
4.5 Fubini 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
第五章测度导数与Newton-Lebniz 公式139
5.1 Vitali 覆盖定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2 Hahn 分解定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3 Radon 测度的导数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.4 Radon-Nikodym 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.5 单调函数与有界变差函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.5.1 单调函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.5.2 有界变差函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.6 绝对连续函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
附录182
附录A Lebesgue 测度的另一构建方式. . . . . . . . . . . . . . . 182
附录B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
参考文献184
索引185