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一、Hurst指数简介
基于重标极差（R/S）分析方法的Hurst指数（H）研究是英国水文学家H.E.Hurst（1900-1978）在研究尼罗河水库水流量和贮存能力的关系时，发现用有偏的随机游走（分形布朗运动）能够更好地描述水库的长期贮存能力，并在此基础上提出了基于重标极差（R/S）分析方法来建立Hurst指数，作为判断时间序列数据遵从随机游走还是有偏的随机游走过程的指标。
所谓有偏的随机游走过程（分形布朗运动），是区别于随机游走过程（布朗运动）的时间序列数据形态。随机游走过程对应于金融市场上的有效市场假说，即股票价格完全反映市场上的所有信息，包括历史信息、基本面信息与内幕消息，股票价格的运动过程遵从鞅过程；而有偏的随机游走过程中，金融时间序列数据存在一定的规律，即记忆性。
对于股票价格序列，在月线、周线、日线、小时线、分钟线等尺度上，股票价格具有明显的自相似结构，即增加股票价格时间序列的频率，可以观察到股票市场的微结构—小时线、分钟线乃至秒钟的高频金融数据，股票价格具有更明显的自相似结构。
分形几何学最典型的例子，即精细结构中，曲线呈现出如下特性：
（1）连续但不光滑，在任意小的区间上，函数都不能近似为线段；
（2）曲线发散而不收敛；
Edgar Peter证明，股票市场是一种非线性的自组织分形组织，资产价格变化并不是简单随机游走，股票价格会在各种尺度上重复自己的行为。
相应地，Hurst指数可以刻画有偏随机游走过程与随机游走过程，Hurst指数有三种形式：
（1）如果H=0.5，表明时间序列是白噪声，无记忆性，可以用随机游走过程来描述；
（2）如果0.5<H<=1，表明时间序列是黑噪声，即时间序列具有持续性，暗示长期记忆的时间序列，如果H=1，则时间序列为直线，历史可以完全预测未来；
（3）如果0<=H<0.5，表明时间序列是粉红噪声，即时间序列具有反持续性，暗示时间序列具有均值回复过程；
因此，H=0.5，对应于随机游走过程；而当H不等于0.5时，就可以用有偏的布朗运动（分形布朗运动）来描述该时间序列数据。
Mandelbrot在1972年首次将R/S分析应用于美国证券市场，分析股票收益的变化，Peters把这种方法作为其分形市场假说最重要的研究工具进行了详细的讨论和发展，并作出了相关实证研究，经典的金融理论一般认为股票市场是有效的，已有的信息已经充分在股价上得到了反映，因此无法预测股票价格未来走势，下一时刻的变动独立于历史价格变动；因此，股市变化没有记忆。
中国市场并非有效，严格而言，中国股票市场尚未达到弱式有效，因此，中国股票市场在一定程度上表现出长期记忆性。中国股票市场的牛熊交替，伴随着对股市趋势记忆的加强和减弱的轮换，分形理论中的重标极差法导出的Hurst指数可以反映股市长期记忆性的强弱。
对中国股票市场等尚未达到弱式有效的金融市场，可以用移动时间区间的Hurst指数来对照股指的变化，分析Hurst指数的高低与市场指数走势的关系，Hurst指数预测股票市场走势的三种形式如下：
（1）如果H=0.5，表明时间序列可以用随机游走过程来描述，即股市未来的运动方向（上涨、下跌）无法确定，金融市场处于振荡行情中；
（2）如果0.5<H<=1，表明时间序列是黑噪声，时间序列具有持续性，即长期记忆性，股市将保持原有的运动方向；若时间周期序列长度为120，当最近半年市场上涨或下跌时，市场很可能将继续上涨或下跌，H值越大，市场保持原有趋势的惯性越大；
（3）如果0<=H<0.5，表明时间序列是粉红噪声，时间序列具有均值回复过程，所谓均值回复过程，即时间序列具有I(0)的特征，不具有单位根，是平稳时间序列过程；若时间周期序列长度为120，当最近半年市场上涨或下跌时，市场很可能将反转下跌或上涨，H值越小，市场改变原有趋势反转的可能性越大。
二、Hurst指数的计算
R/S分析方法的基本内容是：对于一个时间序列，把它分为A个长度为n的等长子区间，比如第a个子区间（a=1，2，…，A），若时间序列长度为240，A=[4,6,…]，n=[60,40,…]。假设：
其中，Ma为第a个区间内x的平均值，Xt,a为第a个区间内第t个元素的累计离差，令极差：
若以Sa为第a个区间的样本标准差，则可定义重标极差R/S，把所有A个这样的重标极差平均计算得到均值：
而子区间长度n是可变的，不同的分段情况对应不同的R/S，Hurst通过对尼罗河水文数据长时间的实践总结，建立如下关系：
其中，K为常数，H为相应的Hurst指数，将上式两边取对数得：
对log(n)和log(R/S)进行最小二乘法回归分析即可计算出H的近似值。
三、Hurst指数在量化择时中的应用
利用Hurst指数在A股市场进行量化择时，有助于确定股票的买入信号与卖出信号。
深成指数与Hurst指数
上证指数与Hurst指数的对应关系
沪深300指数与Hurst指数的对应关系
Hurst指数在预测市场未来走势的时候可以表现出极强的先验性。在市场将要发生大跌之前的一段时间内，Hurst指数已经发生了急速的大幅的下跌，为市场将要发生反转给出明显的信号；但是，Hurst指数在预测市场反转向上时的表现则不像预测下跌那么有效。
参考文献：
1.金融数量分析：基于MATLAB编程 郑志勇
2.国信证券：量化择时系统周报
3.Hurst指数在股票市场有效性分析中的应用
4.浙商证券：局部Hurst指数在中国股市中的应用
5.广发证券：国债期货趋势交易可能性探讨
附件：
1.Hurst指数及在Excel中的实现
2.金融数量分析：基于MATLAB编程-Hurst指数代码
3.Hurst指数研究券商研报
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