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楼主: 永不言败ni
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[考研公共课] 2017考研数学七大中值定理精讲 [推广有奖]

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高数占据了考研数学的半壁江山,而在高等数学中七大中值定理(零点定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理与积分中值定理)是学生在学习过程中认为最难的部分。七大定理的难主要在于难理解、难应用。在历次考试,包括研究生入学考试中,与中值有关的问题一直是考试中得分最少的题,我们应如何更好的理解与掌握定理,灵活有效的使用定理呢?我们来详细的分析一下这几大定理。

第一,七大定理的归属。

零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理,并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴,但其实也是微分中值定理的推广。

第二,对使用每个定理的体会。

学生在看到题目时,往往会知道使用某个中值定理,因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。

1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。从题目中我们一目了然,应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内,当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时,需要对这些端点做例外说明。

2、介值定理问题可以化为零点定理问题,也可以直接说明,如“证明在(a,b)内存在ξ,使得f(ξ)=c”,仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续,以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。

3、用微分中值定理说明的问题中,有两个主要特征:含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。在微分中值定理证明问题时,需要注意下面几点:

(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时,肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;

(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时,使用柯西中值定理,此时找到函数是最主要的;

(3)当出现高阶导数时,通常归结为两种方法,对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;

(4)当出现多个中值点时,应当使用多次中值定理,在更多情况下,由于要求中值点不一样,需要注意区间的选择,两次使用中值定理的区间应当不同;

(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数,如何选择区间。对此我的体会是应当从需要证明的结论入手,对结论进行分析。我们总感觉证明题无从下手,我认为证明题其实不难,因为证明题的结论其实是对你的提示,只要从证明结论入手,逐步分析,必然会找到证明方法。

4、积分中值定理其实是微分中值定理的推广,对变上限函数使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到积分中值定理甚至类似于泰勒定理的形式。因此看到有积分形式,并且带有中值的证明题时,一定是对某个变上限积分在某点处展开为泰勒展开式或者直接使用积分中值定理。当证明结论中仅有积分与被积函数本身时,一般使用积分中值定理;当结论中有积分与被积函数的导数时,一般需要展开变上限积分为泰勒展开式。

通过我们对七大中值定理的分析,同学们是不是有茅塞顿开的感觉啊,了解了这些知识点的运用方法及其注意事项之后,我们还要学会运用在实践中,多做强化练习,比如汤家凤编写的《2017考研数学硕士研究生入学考试高等数学辅导讲义》这本书就有很多练习题,并且附有详细的解答,对于一些经典的题型也有重点讲解哦,好好利用吧,祝同学们考试顺利,加油。

来源:文都图书


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关键词:2017考研 考研数学 研究生入学考试 积分中值定理 研究生入学 研究生入学 考研数学 高等数学 如何 推广

neverbest 发表于 2016-4-27 15:21:38 |显示全部楼层 |坛友微信交流群
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neverbest 发表于 2016-4-27 15:21
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