泰尔指数及分解公式的计算方法与Matlab实现

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前言

最近查一点泰尔指数的资料，发现无论是公式还是软件实现，都说的特别乱，看不出所以然。

特整理了该内容，并用Matlab软件给出了实现的代码。

一、泰尔指数

泰尔指数（Theil index）或者泰尔熵标准(Theil’s entropy measure)泰是由泰尔(Theil,1967)利用信息理论中的熵概念来计算收入不平等而得名。

熵在信息论中被称为平均信息量。在信息理论中，假定某事件E将以某概率p发生，而后收到一条确定消息证实该事件E的发生，则此消息所包含的信息量用公式可以表示为：

\[h(p)=ln(\frac{1}{p})\]

设某完备事件组由各自发生概率依次为p1,p2,...,p_n由n个事件E1,E2,...,E_n构成，则有\[\sum_{i=1}^n p_i =1\]，熵或者期望信息量等于各事件的信息量与其相应概率乘积的总和：

\[H(x)=\sum_{i=1}^n p_i h(p_i) = \sum_{i=1}^n p_i \ln\big(\frac{1}{p_i}\big) = -\sum_{i=1}^n p_i \ln(p_i)\]      (1)

将信息理论中的熵指数概念用于收入差距的测度时，可将收入差距的测度解释为将人口份额转化为收入份额（类似于洛伦兹曲线中将人口累计百分比信息转化为收入累计百分比）的消息所包含的信息量。而泰尔指数只是熵指数中的一个应用最广泛的特例。泰尔指数的表达式为：

\[T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{y_i}{\bar{y}} \ln\big(\frac{y_i}{\bar{y}}\big)\]               (2)

其中，T为收入差距程度的测度泰尔指数，y_i表示第i个个体的收入，\[\bar{y}\]表示所有个体的平均收入。

对于分组数据，泰尔指数有另一种表达式：

\[T=\sum_{k=1}^K w_k \ln\big( \frac{w_k}{e_k} \big)\]                 (3)

其中，w_k表示第k组收入占总收入的比重，e_k表示第k组人口数占总人口数的比重。

例1.

(I)    按公式(2)计算：

1. function T=Theil2(x)
   
2. %函数Theil2()计算泰尔指数, 反映收入水平的差异
   
3. %其中,x为n个个体的收入
   
4. xx=x./mean(x);
   
5. T=mean(xx.*log(xx));

复制代码

主程序：

1. y2=[10 10 8 8 8 8 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2];
   
2. %每个个体的收入（万美元）
   
3. T2=Theil2(y2)

复制代码

运行结果：

T2 =  0.0791

(II)   按公式(3)计算：

1. function T=Theil(y,p)
   
2. %函数Theil()计算泰尔指数, 反映收入水平的差异
   
3. %其中,y为各组的平均收入; p为各组包含的个体数
   
4. w=y.*p/sum(y.*p);
   
5. e=p./sum(p);
   
6. T=sum(w.*log(w./e));

复制代码

主程序：

1. y=[10 8 6 4 2]; %各组的平均收入（万美元）
   
2. p=[2 4 6 4 2]; %各组包含的个体数
   
3. T=Theil(y,p)

复制代码

运行结果：

T =  0.0791

二. 泰尔指数分解法

泰尔指数作为收入不平等程度的测度指标具备良好的可分解性质，即将样本分为多个群组时，泰尔指数可以分别衡量组内差距与组间差距对总差距的贡献。假设包含n个个体的样本被分为K个群组，每组分别为\[g_k, (k=1,\cdots,K)\],第k组g_k中的个体数目为n_k，则有\[\sum_{k=1}^K n_k =n\]，

y_i表示个体i的收入份额（占总收入的比例）, y_k表示第k组的收入份额（占总收入的比例），记T_b与T_w分别为组间差距和组内差距，则可将泰尔指数分解如下：

\[T=T_b+T_w=\sum_{k=1}^K y_k \ln\big(\frac{y_k}{n_k /n} \big) + \sum_{k=1}^K y_k \Big(\sum_{i \in g_k} \frac{y_i}{y_k} \ln \frac{y_i / y_k}{1/n_k} \Big)\]     (4)

在上式中组间差距T_b与组内差距T_w分别有如下表达式：

\[T_b=\sum_{k=1}^K y_k \ln\big(\frac{y_k}{n_k /n} \big) \]                           (5)

\[T_w = \sum_{k=1}^K y_k \Big(\sum_{i \in g_k} \frac{y_i}{y_k} \ln \frac{y_i / y_k}{1/n_k} \Big)\]      (6)

另外，值得注意的是组内差距项分别由各组的组内差距之和构成，各组的组内差距的计算公式与样本总体的计算公式并无二致，只是将样本容量控制在第k组的个体数目n_k。

例2 还是例1的数据，计算组间差距T_b与组内差距T_w，验证泰尔指数T=T_b+T_w

1. function [Tb,Tw]=TbTw(x,n)
   
2. %函数TbTw()计算泰尔指数分解, 返回Tb为组间差距, Tw为组内差距
   
3. %泰尔指数T=Tb+Tw
   
4. %x为N个个体的收入向量, 依次分为K个分组
   
5. %n=[n1,...,nK]为各分组的个体数向量, sum(n)=N
   
6. K=length(n);
   
7. s=[0,cumsum(n)];
   
8. for k=1:K
   
9.     X{k}=x(s(k)+1:s(k+1))./sum(x);
   
10. %X{k}为第k个分组的nk个个体的收入份额(占总收入的比例)
    
11.     y(k)=sum(X{k}); %y(k)为第k组的收入份额(占总收入的比例)
    
12. end
    
13. Tb=sum(y.*log(y./(n./length(x)))); %组间差距
    
14. for k=1:K
    
15.     z(k)=sum((X{k}./y(k)).*log(n(k)*X{k}./y(k)));
    
16. %第k组的组内差距
    
17. end
    
18. Tw=sum(y.*z); %总的组内差距为各分组组内差距的加权和

复制代码

主程序：

1. x=[10 10 8 8 8 8 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2];
   
2. %每个个体的收入（万美元）
   
3. n=[2 4 6 4 2]; %各分组的个体数
   
4. [Tb,Tw]=TbTw(x,n)

复制代码

    运行结果：

Tb=  0.0791

Tw=  -3.7007e-17

说明：由于该例中，每个分组内各个个体的收入是相同的，故每个分组的组内差距为０，总的组内差距Tw也为０，结果中的-3.7007e-17是由于Matlab中的双精度误差造成的，相当于是０.

例3 修改例1中的数据，让各分组的个体收入不相等，继续测试上述算法。

原第1组：10、10，改为9.5、10.5

原第2组：8、8、8、8，改为7、9、7.5、8.5

原第3组：6、6、6、6、6、6改为5、7、5.5、6.5、6、6

原第4组：4、4、4、4改为3、5、3.5、4.5

原第5组：1.5、2.5

主程序：

1. x2=[9.5 10.5 7 9 7.5 8.5 5 7 5.5 6.5 6 6 3 5 3.5 4.5 1.5 2.5]; %每个个体的收入(万美元)
   
2. n=[2 4 6 4 2]; %各分组的个体数
   
3. [Tb,Tw]=TbTw(x2,n)
   
4. T=Theil2(x2)
   
5. Tb+Tw

复制代码

运行结果：

Tb=  0.0791

Tw=  0.0077

T=   0.0868

ans=  0.0868

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关键词：matlab实现 MATLAB matla atlab 泰尔指数 泰尔指数 泰尔指数分解 代码实现 Matlab

运行出来的程序好像是错误的啊

楼主能否提供matlab数据文件呢？感谢

幻月黄昏 发表于 2017-7-26 22:58
楼主能否提供matlab数据文件呢？感谢

数据就在代码里面啊

楼主你好，我认真阅读了您的代码，看到x{1}存储的是[0.0925925925925926,0.0925925925925926]这样一个数组，请问一下，如果做二阶分解的话，不知道x{k}能不能存储三层数据啊？比如x{1}存储的数组里面第一个数据0.0925925925925926，能不能用来存储第三层中的一个数组？不知道我讲清楚了没有，请多多指教！

问题已解决，谢谢楼主

楼主，出现了新问题。

x=[1.154062        0.985147        0.983094        0.708012        1.184635        0.93766 1.115254 1.026582 1.187553 0.807315 0.851514        1.091385        1.059443]; %数值

n=[6 2 5]; %以上数值各分组的个数

每组计算结果为 0.0129    0.0009    0.0108，相加后并不等于Tw的值0.0101

使用matlab和stata都是这个结果，而其他论文上都应该等于Tw的值才对。请问是什么原因呢？应该如何修改？谢谢

幻月黄昏 发表于 2017-7-28 00:41
楼主，出现了新问题。

x=[1.154062        0.985147        0.983094        0.708012        1.184635  ...

本来就是不相等，这里不同于泰尔指数分解那里。
我后来又对代码做了改进，可以计算更多的量出来，你可以参考一下：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/23627010

zhjx19 发表于 2017-7-30 17:50
本来就是不相等，这里不同于泰尔指数分解那里。
我后来又对代码做了改进，可以计算更多的量出来，你可以 ...

原来您就是张敬信老师，老师您好，matlab代码参考的就是您给地址的那一篇，前面的计算结果就是Z值。
看了很多论文计算区域内泰尔指数时用的是区域A泰尔指数+区域B泰尔指数+区域C泰尔指数=区域内泰尔指数总和（Tw），然后Tw+Tb=T。请问老师如何用Matlab计算泰尔指数分解？尝试过单独计算每个区域的泰尔指数，结果和Z值一样。

（PS：老师能否留个微信或者QQ，目前在学习Matlab，希望能得到您的指点，感激不尽）

想知道如何运用泰尔指数对医疗资源分布公平性解释？