An introduction to computer graphics and creative 3-D environments

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An introduction to computer graphics and creative 3-D environments
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
1 Setting the Scene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 The Nature of Computer Graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Flight Simulation and Computer Games Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Medical Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Electronic Computer Aided Design (ECAD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 The Evolution of Computer Graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Vector and Bitmapped Graphics: Image Refresh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 The Vector Display . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2 The Bitmapped Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5 Display Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1 Cathode Ray Tube Based Displays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.2 The Direct View Storage Device (DVSD). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5.3 Plasma Thin Panel Displays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5.4 Liquid Crystal Thin Panel Displays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.5 Field Emission Thin Panel Displays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6 Encoding the Third Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.1 Exemplar 3-D Images. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.2 Coding Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7 Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.8 Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.9 Investigations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.10 Feedback to Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2 AMaths Primer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2 Cartesian, Polar and Homogeneous Coordinate Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.1 The Cartesian Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.3 Homogeneous Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
vii
viii Contents
2.3 The Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3.1 A Finite Line: The Parametric Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.2 The Perpendicular Bisector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4 Vectors in a 2-D Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4.1 Vector Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4.2 ‘Free’ and ‘Position’ Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4.3 Specifying Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4.4 The Magnitude (Modulus) of a Vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.5 Addition of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.6 Reversing the Direction of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4.7 Changing the Magnitude of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4.8 The Unit Vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4.9 The Scalar Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4.10 Direction Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4.11 The Vector Equation of a Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5 Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.5.1 Addition and Subtraction of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.5.2 Multiplication of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.5.3 The Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.5.4 Multiplication by a Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.5.5 Concerning Row and Column Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.6 Using Matrices to Solve Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.6 Concerning Curves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.6.1 The Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.6.2 The Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.6.3 The Archimedes’ Spiral and Rose Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.6.4 The Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.7 Forming a Parabola Using Three Points: de Casteljau Algorithm . . . . . . . . . . . . . . 103
2.8 Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.9 Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.9.1 Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.9.2 The Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.9.3 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.9.4 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.9.5 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.10 Feedback to Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.10.1 Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.10.2 The Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.10.3 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.10.4 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.10.5 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3 Images in a 2-D Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2 Some Basic Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.2.1 Model Formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.2.2 The Extent of the Image scene and its Relation to the Viewport. . . . . . . . . 113
Contents ix
3.3 Transformations Using 2 by 2Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3.1 Scaling an Image Component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3.2 Object Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.3 Object Reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3.4 Object Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4 Combined TransformationsUsing 2 by 2Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4.1 Combining Three or More Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5 Homogeneous Transformations in a 2-D Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5.1 Incorporating Multiple Transformations in a Single Matrix . . . . . . . . . . . . 127
3.5.2 Rotation about any Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.6 Concerning Graph Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.6.1 The Location of a Point Relative to a Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.7 Clipping Points and Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.7.1 Clipping Image Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.7.2 Clipping Line Segments: The Cohen Sutherland Algorithm . . . . . . . . . . . . 135
3.7.3 The Liang and Barsky Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.8 Clipping Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.8.1 The Sutherland-Hodgman Polygon Clipping Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.9 Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.10 Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.11 Feedback to Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4 Curves in 2-D Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2 A Little Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.2.1 The Differentiation Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.2.2 Finding the Gradient of a Curve Described by a Cartesian
Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2.3 Dealing with Parametric Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.3 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.3.1 Linear Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.3.2 Non-Linear Blending Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.4 Bézier Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.4.1 Characteristics of Bézier Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5 Spline Functions and B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.5.1 Generating B-Spline Blending Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.5.2 Non-Uniform B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.6 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.7 Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.8 Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.9 Feedback to Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5 Interfacing with the Visual System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.2 The Eye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2.1 Photoreceptors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2.2 The Focusing System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
x Contents
5.2.3 Perception of Colour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.2.4 The Dynamic Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.2.5 Acuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.3 Cues to Depth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.3.1 Static Scenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.3.2 Dynamic Scenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.4 An Overview of Various Pictorial Depth Cues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.4.1 Occlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.4.2 Height in the Visual Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.4.3 Aerial Perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.4.4 Familiar Size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.4.5 Shadows and Shading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.4.6 Texture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.4.7 Linear Perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.5 Oculomotor Depth Cues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.6 Binocular Cues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.6.1 Binocular Parallax (Stereopsis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.6.2 Motion Parallax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.7 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.8 Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.9 Feedback to Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6 Into the Third Dimension: Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.2 Basic Transformations in 3-D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.2.2 Scaling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.2.3 Rotation About a Coordinate Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.2.4 Reflection in a Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.3 The Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.4 Combining Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.4.1 Rotation about an Axis Parallel to a Coordinate Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.4.2 Rotation about an Arbitrary Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.5 Perspective Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.5.1 Perspective and Projection Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.5.2 Object Orientation and Location . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.5.3 The Vanishing Point Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.6 Frames of Reference and the Virtual Camera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.6.1 The Viewing Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.6.2 ViewingWindow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.6.3 Viewing Coordinate System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.7 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.8 Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6.9 Feedback to Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
7 3-D Graphics: Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.2 PolygonalModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Contents xi
7.2.1 An Extrusion Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.2.2 Surface of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
7.2.3 A Laser Based Scanning System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.2.4 Interactive Formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.3 The B-Rep Approach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.4 A Little Maths: The Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
7.4.1 Plane Representation Based on Three Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
7.4.2 The Normal Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
7.4.3 Plane Representation Using Three Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
7.4.4 Plane Representation: Parametric Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
7.4.5 Plane Representation: Scalar Product Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7.5 Polygonal Representation: Some General Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7.5.1 Purpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7.5.2 Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
7.5.3 Number of Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
7.6 Surface Construction Using Bézier Patches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
7.6.1 Using Matrices to Represent Bézier Curves and Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.6.2 Joining Bézier Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.7 Constructive Solid Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.8 Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.9 Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.10 Feedback to Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
8 3-D Graphics:Mainly Rendering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
8.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
8.2 Unification: TheWorld Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
8.3 The Viewing Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
8.4 Culling, Clipping and the Perspective Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.4.1 Clipping to the View Frustum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.4.2 Clipping to the ViewWindow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8.5 Mapping to a Viewport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8.6 Clipping for Opacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
8.6.1 The Z-Buffer Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
8.6.2 The Painter’s Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
8.7 Shading and Colour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
8.7.1 Diffuse and Specular Reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
8.7.2 Gouraud and Phong Interpolative Shading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
8.7.3 AWorldWithout Shadows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
8.8 Ray Casting and Ray Tracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
8.9 Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
8.10 Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
8.11 Feedback to Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
9 Creative 3-D Display Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.2 Creative 3-D Display Systems: General Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9.2.1 A General Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9.2.2 Forms of Image Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
xii Contents
9.3 Stereoscopic Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
9.3.1 Creating Stereo-views . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
9.3.2 Non-coded Stereoscopic Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
9.3.3 Chromatically Coded Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
9.3.4 Temporally Coded Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
9.3.5 Spatially Coded Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
9.4 Stereoscopic Systems: SupportingMotion Parallax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
9.5 Volumetric Display Techniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
9.5.1 Display Subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
9.5.2 Swept Volume Volumetric Displays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
9.5.3 Static Volume Volumetric Displays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
9.6 Varifocal Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
9.7 Holographic Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
9.7.1 General Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
9.7.2 Computed Holography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
9.8 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
9.9 Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
9.10 Feedback to Review Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
10 Interaction and Haptic Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
10.1.1 Medical Training . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
10.1.2 Creative Design. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
10.2 Concerning Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
10.3 Somatosensory Perception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
10.3.1 Cutaneous Sensitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
10.3.2 Proprioception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
10.3.3 The Frequency Characteristics of the Human Haptic System. . . . . . . . . 434
10.4 Traditional Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
10.4.1 Synergistic Bi-manual Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
10.5 Haptic Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
10.5.1 Support for Haptic Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
10.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
Appendix A. Maths: Some Useful Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Appendix B. The Curvature of a VarifocalMirror . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
Appendix C. The Scalar Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
Appendix D. Concerning the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
D.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
D.2 Determining the Intersection of a Line with a Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
D.3 The Intersection of Two Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
Feedback to Selected OTU Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

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