所谓连续复利公式的推导错在哪里？

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连续复利法就是在给定年利率的前提下，通过不断缩短计息期，实现连续计息的一种所谓方法。而多年来许多教材中讲授的这种连续复利法是不正确的。
1982年中国人民大学出版社出版的《经济应用数学基础（一）微积分》的叙述（该书63页）是：
“我们先从实际问题来看看这种数学模型的意义。例如计算复利息问题。设本金为A0，利率为r，期数为t，如果每期结算一次，则本利和A为
                                                      A= A0(1+r）^t
如果每期结算m次，t期本利和Am为
                                                   Am= A0（1+r/m）^(mt)
在现实世界中有许多事物是属于这种模型的，而且是立即产生立即结算，即m→∞。如物体的冷却、镭的衰变、细胞的繁殖、树木的生长等等，都需要应用下面的极限：
                                              lim A0（1+r/m）^(mt)

这个式子反映了现实世界中一些事物生长或消失的数量规律，因此，它是一个很有用的极限”。
连续复利法在构成上和应用上都是不对的，除去把人们的思维搅乱外没有任何意义。产生连续复利法错误的根源是复利分期计算公式就是不对的。
为说明复利分期计算公式存在的问题，我们先看一个例子。
设有有本金 A0元，年利率为100%。在给出年利率为100%的前提下，确定半年期的利率。
a. 按单利方法折算，一年的利率为100%,得半年的期利率为50%。
b. 按复利方法折算，一年的利率为100%,得半年的期利率为 (1+100%)^(1/2) -1=41.421%。
根据用这两种方法确定的半年期的利率，计算两个半年，即一年的利率，则可有下列四种方法。
在a的基础上，可有
a-a.根据半年期的期利率50%，再算一年的利率，还是按单利折算，得年利率还是100%。
a-b.根据半年期的期利率50%，按复利算一年的利率，就得一年的利率为（1+50%）^2-1=125%。
在b的基础上，可有
b-a. 根据半年期的期利率41.421%,按单利方法，即将半年期利率加倍的方法求一年的利率，得年利率82.842%。
b-b.根据半年期的期利率41.421%,再按复利计算两个半年，即一年的利率，就是(1+41.421%)^2-1=100%。
方法a-a和方法b-b是在保证给出利率为100%的前提条件下进行计算的，所不同的是方法a-a用的是单利法，方法b-b用的是复利法；方法a-b是先用单利法，再用复利法。方法b-a是先用复利法，再用单利法。方法a-b和方法b-a都改变了原来的利率。方法b-a会被人们看作是不合理的，甚至觉得方法b-a有些荒谬。其实，方法a-b和方法b-a存在相同的逻辑错误，如果说方法b-a荒谬，那么方法a-b也荒谬。都是在否定给出的前提条件下进行所谓计算的。所不同的是，在日常生活中，方法a-b很容易被想到，方法b-a不易被想到而已。
通常教材中讲授的复利分期计算公式Am = A0（1+r/m）^(mt)在构成上就是采用了方法a-b的思路。即，将一年的利率r分成m期计算利息，每一期的利率取为r/m，采用的是单利法，返回来，计算一年，或t年的利息用的则是复利法。
所以，复利分期计算公式Am = A0（1+r/m）^(mt)的构成就是不合理的。根据这样的公式推导所谓连续计算方法也就必然是不对的了。

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关键词：连续复利 中国人民大学出版社 人民大学出版社 应用数学基础 经济应用数学 应用数学 微积分 年利率 连续复利

注意区分连续复利与相当于一年期单利或反之的区别！！！注意利息等于本金乘以期限乘以利率的计算公式！！！
因此，a-a的利率还是100%，只是期限变为半年（二分之一年）。
a-b、注意100%是指一年期单利的利率，后部分是指在单利为100%的情况下，相当于连续复利的利率，不可混用。
b-a、连续复利的利率不可用于单利计算。
b-b、还是声明，连续复利和单利的区别。
目前，我只发现郑振龙的《金融工程》的连续复利推导过程有误，但结果正确。

在年利率为100%时，本金10000元在一年内应是按指数函数 A= 10000(1+100%）^t=10000e^(t*ln100%)（t取连续实数）规律逐步增值为10100元、11000元、15000元、19980元，经过一年就是A= 10000(1+100%）^1=10000e^(1*ln100%)=20000元。这就是复利的连续计算、连续复利的结果，不符合这一规律就是错误的。
在年利率为100%的前提下，无论如何增值，经过一年，10000元也不会增值、连续复利成为A=10000e^(1*100%)=27000多元。
这用不到其它高等数学知识和金融工程学的知识。

补证前一回复中的疏忽：
在给定年利率为100%的情况下，本金10000元在一年内按指数函数A= 10000(1+100%）^t=10000e^(t*ln（1+100%))规律逐步增值。

所谓连续复利，就是在给定年利率r的情况下，考虑资金在任意时刻t的资金价值，即资金连续增值的情况。
在年利率为100%时，本金10000元在一年内应是按指数函数 A= 10000(1+100%）^t=10000e^(t*ln(1+100%))（t取连续实数）逐步连续增值为10010元、12000元。15000元。19980元，经过一年达到 A=10000e^(1*ln(1+100%))=20000元。
在给定年利率为100%的前提下，10000元本金经过一年，无论怎样连续复利也不会连续复利成A=10000e^(1*100%)=27000多元。
理解这个计算，不需要其它高等数学和金融工程学的知识。

所谓连续复利，就是在给定年利率r的情况下，考虑资金在任意时刻t的资金价值，即资金连续增值的情况。
在给定年利率100%的情况下，考虑资金的连续复利，即在任意时刻都“利生利”的连续增值情况，本金10000元在一年内就应按指数函数 A= 10000(1+100%）^t= 10000e^(tln(1+100%))（t取连续实数）连续逐步增值为10010元、11000元、15000元、19980元，经过一年得
A= 10000(1+100%）^1= 10000e^(ln(1+100%))=20000元。
在给定年利率100%的前提下，无论怎样连续复利，本金10000元也不能连续复利成
A=  10000e^(1*100%)=27000多元。
理解这内容不需要其它高等数学和金融工程学知识。

sdlyzf 发表于 2017-5-25 21:11
注意区分连续复利与相当于一年期单利或反之的区别！！！注意利息等于本金乘以期限乘以利率的计算公式！！！ ...

在给定年利率r的情况下，就有复利计算公式   A= A0(1+r）^t，在进行金融分析、期权定价的活动中，需要考虑本金连续复利、即资金在任意时刻t的增值情况及即时价值。
在给定年利率为100%的情况下，本金10000元就应当是在任意时刻t（t取连续实数）连续复利成
A= 10000(1+100%）^t=10000e^(tln(1+100%))，在一年内逐步连续增值为10010元、10200元、19980元，经过一年复利成A=10000e^(1*ln(1+100%))=20000元。
在给定年利率为100%的情况下，无论怎样连续复利，都不会按所谓连续复利公式A=A(0)e^(rt)复利成10000e^(1*l100%)=27000多元。
理解这个问题，用不到进一步的知识。

重复了

设有有本金 A。元，年利率为 r。将一年一次计息分为一年m 次计息，按资金应有的时间价值，一个计息期1/m年的期利率则为（1+ r）^(1/m) - 1 ， 这样，一年计算m 次，得一年的本利和仍为
A。（1+（（1+ r）^(1/m))^m - 1)=A。（1+ r ）
年利率还是 r。

对于时间是t 年的情况做同样的分期计算，将t年分成m 期计算，t年后的本利和仍为
Am= A。（1+r ）^t
对于Am = A。（1+r ）^t，令m 趋于无穷大取极限，还得 A。（1+r ）^t，
即仍为通常的复利公式。

银行给出半年期储蓄的名义年利率R, 本质上就是给出半年期的期利率R/2 。若一年期的年利率为 0.04，银行给出的半年期的名义年利率必定小于 0.04。若半年期的名义年利率不小于0.04 ，则储户将一年期储蓄变为两个半年期储蓄，一年的有效年利率就大于0.04 ，半年期储蓄既为储户提供了到半年可提款的权利，又增加了储户的实际收益，一年期的储蓄就没有意义了。实际上，银行和储户双方都是在按复利方法考虑和处理问题。

银行给出半年期的名义年利率，在日常生活中用半年期的名义年利率除以2得半年期的期利率是为日常储蓄方便。

如果银行不是给出半年期的名义年利率，而是给出半年期的有效年利率，再让储户按复利法去折算、理解半年期的期利率，这在实际日常储蓄中是很难用的通的。
这样带来的问题就是多产生出一个名词----名义年利率，在相关教材中必须做名义年利率和有效年利率的区分。