所谓连续复利公式的推导错在哪里？

用错误的树木增长连续计算解释错误的连续复利公式。
美国人Robert E.Whaley 的英文著作《衍生工具》2010年由机械工业出版社翻译出版，该书在推出连续复利公式A(t)= A。e^(rt)后（第34页）说
“乍一看，连续利率似乎与现实不符，但恰恰相反。假设我们要对树的增长建模，树木并不是以离散的方式增长，其增长是连续的，如果假定树木的当前高度是50英尺，每年增长率为5%，树木6个月后的高度将是50 e^(0.05*0.5)=51.266英尺”。
一、“乍一看，连续利率似乎与现实不符”，仔细看，连续利率更是与现实不符，乍一看的感觉不是凭空得出的，粗粗一看就会感觉用连续复利法解决问题与现实不符。
经过弯弯绕的所谓连续复利法的解释，就把人的思维搞蒙了。这书的著者就蒙在里面了。
二、对复利问题讲不通的方法，用树木增长问题解释，同样讲不通。如果假定树木的当前高度是50英尺，每年增长率为5%，则树木按指数函数A(t)= 50（1+5%）^t规律增高， 6个月后的高度将是50（1+5%）^0.5=51.235英尺”。这个数与51.266差别不大。但要知道，这种连续复利法是一种方法错误，当年增长率比较大时，就会产生惊人的差错。
例如，一棵小树苗当前高度是0.25英尺，每个月增长率为100%，则四个月后的高度将是0.25（1+100%）^4=4英尺。这个答案在小学数学中都是毫无疑问的正确答案。
而利用所谓连续复利法，则可计算出这棵小树三个月后的高度是0.25 e^(3*100%)=5.021英尺”。
这样连续计算得出三个月小树的高度5.021尺，高于用在小学学的数学计算出的四个月小树高度4英尺。

用树木连续增长的计算解释连续复利很贴切。树木这种连续增长的计算是错误的，这种连续复利的计算也是错误的。

由本帖12、13、14、17、20、21楼所分析的教材中的错误说明，对连续复利不可能有正面的解释。
连续复利方法是错误的，这种方法不可能有正确的应用。
作为学习者，理解不到这种连续复利的用处和意义就对了，说明学习者认真学习、认真思考了。

罗伯特·C·莫顿是1997年诺贝尔经济学奖的获得者。兹维.博迪、罗伯特·C·莫顿、戴维 L.克里顿合著的《金融学》中用连续复利对费雪效应公式的解释也是不对的。
为把问题讨论清楚，我们先给出通货膨胀率概念和在本博中用到相关教材中的名义利率和实际利率的概念。
通货膨胀率为物价平均水平的上升幅度。名义利率指没有剔除通货膨胀因素的金融市场货币利率，即货币数量实际增加的百分比。实际利率是指剔除通货膨胀因素、体现货币购买力的利率，也就是一笔资金加入利息并考虑通货膨胀后实际购买力或含金量增长的比率。这里的名义利率就是有些书中讲的有效利率或实际利率。
如果以r代表名义利率，i代表实际利率，л代表通货膨胀率，P为本金额，则名义利率和实际利率的关系可有费雪效应关系
1+i=(1+r)/(1+л)且有近似式                    i ≈r-л
和等式ln(1+i)=ln(1+r)-ln(1+л)      （***）
费雪效应解释了通货膨胀率预期与利率之间关系，认为当通货膨胀率预期上升时，名义利率也将上升。
资金实际值记为A（t）= A。(1+i）^t ,则1单位资金在任意时刻的增值速度为 ( dA（t）/dt)/A(t)=ln（1+i）
同样可理解，1单位资金在任意时刻的名义增值速度为ln（1+r）,1单位资金在任意时刻的膨胀速度为ln（1+л）
等式（***）是1单位资金在任意时刻货币量增加的同时货币又在贬值的情况，这与通常讲的连续复利无关。                 
  2010年中国人民大学出版社出版的一本《金融学》（兹维.博迪、罗伯特·C·莫顿、戴维 L.克里顿合著《金融学》英文第二版翻译本）在应用连续复利解释i ≈r-л 式时（该书146、147页）说：
“使用条件下的APR(APR是以百分比表示的年利率---本博注)可以简化名义利率与实际利率之间的代数关系，在连续复利条件下，APR之间的关系成为   
实际利率 = 名义利率 - 通货膨胀率         
于是，如果我们假设存在一项6%的名义APR，它是连续复利的，以及一项每年4%通货膨胀率，它也是连续复利的，那么实际利率正好是连续复利的，即每年2%”。
  一是 没有推导为什么“连续复利条件下，APR之间的关系成为;实际利率 = 名义利率 - 通货膨胀率  ”。二是，像“假设存在一项6%的名义APR，它是连续复利的”很难令人理解。
   而等式  （***）  ln(1+i)=ln(1+r)-ln(1+л)  能得到明确解释，且其得出与连续复利无关。
  用所谓连续复利解释任何问题都是不通的。

关于极限的推导是允许近似的，不同的近似形式相互替代的前提是二者是同阶无穷小量，当时间间隔dt趋向于0时，ln(1+rdt)和ln[(1+r)^dt]是同阶无穷小，因此在乘积中用1+rdt代替(1+r)^(dt)是没有问题的（因为对数将乘积化为了加法）

crossbone254 发表于 2017-6-3 10:22
关于极限的推导是允许近似的，不同的近似形式相互替代的前提是二者是同阶无穷小量，当时间间隔dt趋向于0时， ...

具体工作中的应用和数学求极限中的无穷小相互替代是两回事。
具体计算中，在没有准确值时是可以用近似值替代的，比如，在无理数e的应用中，取小数点后面三位，则可用2.718替代，小数点后取五位，则可用2.71828替代，这都是近似替代。
在有的问题中，为了简便，也要取近似值，比如，某公司计算得去年收益比前年提高8.010010012,在年总结中说比前年提高8.01%就可以，不必写成准确值8.010010012%。
无法用准确值时用近似值，为了简便用近似值。把买1斤苹果说成买0.99斤的近似就没意义了。如果有什么公式把1斤计算成0.99斤，那一定是公式有问题。
在给出年利率r的情况下，考虑连续计算复利，考虑资金的时间价值，无论t取整数还是连续实数，用A（t）= A。(1+r）^t计算都是对的 ,写成以e为底的指数函数A(t)= A。e^(tln(1+r)也是对的，
在r值比较小时，用A(t)= A。e^(rt)与A（t）= A。(1+i）^t误差不大。
但是，我们没必要用含有无理数e的式子A(t)= A。e^(rt)去近似替代不含无理数的准确计算式A（t）= A。
(1+i）^t。而且，当r值比较大时，其误差就非常大。在什么学科的应用中，用A（t）= A。(1+i）^t推导出连续计算公式A(t)= A。e^(rt)都不可能是正确的。

首先得确信是否搞清楚了复利法与连续复利的定义，然后再质疑其错误。

复利法又称利滚利，也称驴打滚，是指按一定期限（如一年或一季）将一期所生利息加入本金后再计算下期利息，逐期滚算直至借贷期满的一种计息方法。


而连续复利则是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率。此时不同期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。

lwzxy 发表于 2017-6-3 11:06
首先得确信是否搞清楚了复利法与连续复利的定义，然后再质疑其错误。

复利法又称利滚利，也称驴打滚，是 ...

“在给定年利率r 时，将一年分 m次计息，一个计息期，1/m年的期利率则为（1+ r）^(1/m) - 1 ，根据“利生利”、“驴打滚”，也就是复利法，得t年后的本利和仍为Am= A。（1+r ）^t
每期的期利率为
对于Am = A。（1+r ）^t，令期数m 趋于无穷大，时间间隔无穷小，实现连续计算，还得 A。（1+r ）^t，

给定年利率r，这是问题的前提，用什么方法再否定这个前提，那就是改变了问题。
若允许改变给出的前提，我们就可得出任意值。

如果所谓连续复利法是正确的，我们吹毛求疵，用放大镜也找不出12、13、14、17、20、21、23楼中所列教材论述中的错误来。

OhReally