中心化子与正-规-化子的比较

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

中 心 化 子 与 正 规 化 子的比较

文/更远大侠

       一个群的中心是指能够与这个群的所有元素进行交换的元素的全体，即：

      C（G）={x|xg=gx，任给g∈G}。

       可以证明一个群的中心是一个群。但一个群可能除了单位元｛1｝之外没有可交换元素，从而没有中心，此时称群为非中心的（centerless）。但我们为一个群的一个元素x找到一个能够与之交换的“环境”，这即是x在群G中的中心化子，其定义为：

CG(x)＝{g∈G|gx=xg，x给定}

      而群G的一个子集S的中心化子定义为S中每个元素的中心化子的交集：

            CG(S)＝{g∈G|gx=xg，x∈S}

       一个群的正 规 子 群H是指其左右陪集相同的子群，或者说任何一个G中元素g与子群H的乘法都符合交换律。并非一个群的任何子群都是正 规 子 群。但对于一个群G的子群H，我们却可以找到一个环境，可能说找到G的一个子群N满足H◁NG(H)＜G，即H虽然不是G的正 规 子 群，但H是G中子群N的正 规 子群，这个N称为H在G中的正 规 化 子。其正式定义如下：

NG(H)＝{g∈G|gHg-1=H}＝{g∈G|gH=Hg}

NG(H)是让H的左倍集等于右陪集的元素的集合。

        群G的一个子群H的中心化子与正_规_化_子有关系，显然，H在G中的中心化子也必然是正 规 化 子，但正_ 规_化子不一定是中心化子，即有CG(S)＜NG(H)。

理想化子是与中心化子和正-规-化子类似的概念，只是对于环而不是群而言。简单地讲，一个环R的子环T不一定是环的理想。设环R的子环S是满足以下条件的最大子环，

        T◁S≤R

      即S是R的子环，且T是S的理想，则对于任何满足T◁S’＜R的子环S’有S’≤S，则称S为T在R中的理想化子。一个子环T虽然不是环R的理想，但可以在R中找到一个环境即T的理想化子，使得子环T是子环S中的理想。

理想化子的正式定义如下

       IR(T)={s∈R|sTíT，TsíT}

      由此可见，中心化子、正-规-化-子、理想化子这些概念的提出，是在一个子群H并非原大群G这个大环境的中心、正-规-子群、理想的条件下，寻求一个比G小的子群（环）给H提供一个较小的环境，使得H是这个较小的环境的中心、正-规-子群和理想。

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：中心化 Center enter cent less 农家乐 停车场 青龙 中心 白梨

此贴发了很多遍，终于发现，是“正-规这个词语输入不进去，正字后面的内容全部被删除。应该是敏感词过滤的原因，中国特色了。但我没有想明白，正-规一词为何敏感。

其实，中心化子、正-规-化子、理想化子，都可看作稳定子的特殊情形。当一个群作用于一个集合X上时，对于X的某个元素x的稳定化子定义如下：

      Gx={g∈G|gx=x}≤G

        当群G作用的对象是G本身的元素时，如果作用方式定义为共轭：

       即群G的元素g作用于x时，采取下面的共轭方式：gxg-1，此时使得这种作用保持不变的群元素定义为x的稳定子，即

       Gx={g∈G|gxg-1=x}

       此时稳定化子就成为中心化子的定义了。

       如果G的元素作用的对象是G的子群H，作用方式仍然是共轭，则此时的稳定化子成为

        GH={g∈G|gHg-1=H}

此时被作用对象H的稳定化子就是子群H的正-规-化子。

如果作用者是环R的元素，而作用对象是环R的子环T，作用方式是左乘和右乘，那么稳定化子的定义如下：

GT={g∈R|gTíT，且TgíT}

此时的稳定化子是子环的理想化子。可以注意到，把理想化子作为稳定化子的特例时，定义中本来应该为gT=T和Tg=T，但理想化子的定义却只要求左乘或右乘后的集合是子环T的子集就可以了。因为理想只是要求环中任意元素与理想中的元素相乘，结果还是理想中的元素。但事实上，上述的í可以变成等号，因为原因很简单，当环中的乘法单位元1作用于T时，结果必然是T，因此等号实际上是成立的。

还有这种现象？

感谢分享

过了很多天以后再来看，作为学习群论的读书笔记。

二、各种闭包的比较
（一）二元关系中的自反闭包、对称闭包、传递闭包
在集合X上的二元关系中，有些关系R并不具有自反性、对称性或传递性，此时可能通过在R的基础上增加一些X×X中的元素，使得R的这个超集Cl(R)具有自反性、对称性或传递性，而且使得所增加的元素尽量少，刚好增加到其具有自反性、对称性或传递性为止，此时所得到的超集Cl(R)称为R的自反闭包、对称闭包或传递闭包。
（二）度量空间X中子集S的（极限）闭包
度量空间X中的子集S中的柯西序列的极限可能并不落在S之中，此时可以在S的基础上，增加那些S中的柯西序列的极限点，从而构成一个超集Cl(S)，使得在S中的所有柯西序列都在Cl(S)中收敛，这个超集Cl(S)称为S的（极限）闭包。
可以看到，无论是二元关系中的自反闭包、对称闭包、传递闭包，还是度量空间中的极限闭包，都是在原来的子集S内部不满足某些性质时，通过增加一些元素，而且刚好增加到超集Cl(S)满足这些性质时为止，这个超集就称为原来子集S对于某种性质而言的闭包。
三、中心化子与闭包的比较
从某种意义上讲，子集S在X中的中心化子、正归化子、理想化子都是在原来的空间X中做减法，通过减少一些元素，使得S在减小之后的集合中成为中心、正归子群或理想；而闭包则是X中的子集S不具有某些性质时，通过在S基础上增加某些元素，而且刚好增加到使增大之后的集合具有这些性质。因此，中心化子和闭包都是满足某种性质的新集合。构造中心化子和闭包的思想具有类似之处，都是调整集合的元素使之成为新集合，只不过一个是减少元素，一个是增加元素。而且这种调整，都是使得刚好满足某种性质为止，是一种最优的调整。

感谢分享学习心得