高德拉特难题的解答之一

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高德拉特难题：悬赏5000美金的一道作业排序问题

高德拉特曾经悬赏5000美金的一道作业排序问题，如何使产出最大化？你能做出的最多产品是多少？

该产品工艺流程如图，成品由4个零部件组成，每个零部件都需要经过一定的加工流程，具体需要使用的设备和时间在图中有标注，其中1-10，1-20表示第一个零件的第1和第2道工序，A、B和C表示三台加工设备，即资源。A、B和C后边的数字表示这道工序需要的时间，单位为分钟（如图6-102所示）。

                              

图6-102高德拉特难题

任务：

在8周内生产尽可能多的产品，用甘特图表示出在8周之内对每台设备的作业排序。

最低要求：

1）任何时候WIP的原料价值不能超过50 000美元

2）每周至少生产140件成品，前四周至少共生产680件成品

限制条件：

1）A、B和C设备各一台。

2）一台设备从一个工序转换到另一个工序需要60分钟的切换时间，最开始生产时也需要60分钟的切换时间。

3）8周内，每周工作5天，每天24小时工作不间断。

4）原材料供应没有限制。

5）8周内系统没有初始库存。

为了计算WIP原料和完成的零件库存，假定它们的价值均为100美元。一旦4个零部件组成一套到达装配线，就马上组装运走。原材料和成品的价值不包括在库存计算里面。

内容摘要：你可以使用精益生产、TPS、流水线生产或者其他任何理论来进行解答。这里介绍的是TOC制约理论的解答方法。基本逻辑是瓶颈决定系统的产出，所以按照TOC制约理论的聚焦五步骤中的前三步，找到瓶颈，挖尽瓶颈和迁就瓶颈来优化瓶颈和非瓶颈工序的排产，使得产出最大化。找到瓶颈，然后确定瓶颈可以开始的最早时间和结束的最晚时间，再减去最小切换次数n所花费的时间，剩余的时间就是瓶颈用于生产的最大时间，对应的数量就是可以产出最大的成品数量。在排产时要考虑各种约束条件，然后确定最小的切换次数，这是这道题的关键，切换次数越少，瓶颈可以生产的数量越多。增加批量，从而减少瓶颈的切换次数，可以增加瓶颈用于生产的时间；而非瓶颈的切批可以用来迁就瓶颈，使瓶颈不挨饿，从而增加有效产出。

第一步，找到瓶颈。4个零部件都需要A、B和C三个资源进行加工，每件成品都需要这4个零部件，且每个零部件需要1个。因为要求生产尽可能多的成品，并且8周内没有初始库存，所以这4个零部件的数量应该相同。生产一个成品需要资源A花费29分钟（5+7+3+8+1+5=29），需要资源B花费34分钟（3+15+3+11+2=34），需要资源C花费33分钟（3+2+20+5+3=33）。因为每个成品需要资源B的时间最多，所以B是瓶颈（如表6-13所示）。

表6-13 高德拉特难题的瓶颈

第二步，挖尽瓶颈。挖尽瓶颈的意思就是尽可能的让B的时间用在生产上，因为每次从1种操作换到生产另一种操作需要60分钟的切换时间，同一种零件不同工序之间也需要切换时间，切换次数越多，花费的时间越多，所以要尽可能减少切换的次数。

1）4种零件的生产顺序确定

资源B先生产哪一个零部件呢？

因为没有在制品，并且资源B在4个零件生产中都不是第一道工序，需要等待其他工序生产完一个在制品时，资源B才能开始生产。

在1#零部件流程中，B资源每件需要3分钟，而A资源需要5分钟，A资源的速度慢于B资源，B资源会挨饿，会有很多等待时间，所以不应该选择先生产1#零部件。在2#零部件生产中，资源B需要15分钟，资源A需要11分钟，资源C需要2分钟，资源B最慢，是瓶颈，不会挨饿，但是资源A从2-20向2-30切换还需要60分钟，2#零部件备选。3#零部件流程中，资源B需要14分钟，资源C需要20分钟，资源C慢于资源B，资源B会挨饿，不选。4#零部件流程中，资源B需要2分钟，资源C需要3分钟，资源C慢于资源B，资源B会挨饿，不选。所以选择2#零部件作为开始。

2#零部件最先生产，接下来应该生产哪个零件呢？2-40中B资源需要15分钟，4-30中B资源需要3分钟，共需18分钟。在2-10中C资源需要2分钟，4-10中C资源需要20分钟，瓶颈前C资源需要22分钟，大于B资源在2#和4#中的时间，B资源需要等待或者切换生产4-40，这样都会浪费时间。如果把3#放在2#和4#之间，瓶颈B在2-40，3-30和4-30共花费21分钟，而资源C在2-10，3-10和4-10共花费25分钟，因为C在3#零件花费3分钟多于瓶颈B在3#零件花费的2分钟，所以将3#零件放到2#和4#之间，瓶颈B更容易挨饿。应该将资源C在瓶颈前花费比瓶颈花费时间少的放到2#和4#之间，也就是1#，这样4个零件的顺序就确定了，顺序为2#-1#-4#-3#。

画出4种零件的工序图，这样会利于分析，这种图有些类似于TOC制约理论中的关键链（如图6-103所示）。

图6-103 高德拉特难题的工序

2）生产批量的确定

在4种零件的生产中，有6个工序需要资源A的操作，有5个工序需要瓶颈B的操作，有5个工序需要资源C的操作，那么完成一个或一批成品，资源A需要最少切换6次，瓶颈需要5次，资源C需要5次。

在要求中，在制品的价值不能超过5000美元，每个在制品价值100美元，那么在制品就不能超过5000/100=500个。在制品包括正在生产的零件和已完成的零件，4种零件各完成一个，就可以组装成1个成品运走，在制品就减少4个。为了挖尽瓶颈使得瓶颈尽可能的将时间用于生产，就需要减少瓶颈的切换次数，那么切换5次是最少的。

每一周要求有140个成品产出，那么可以大概计算一下每周极限可以生产多少个成品。一周工作5天，每天24小时，每小时60分钟，共5×24×60=7200分钟，减去资源B的5次换线，7200-5×60=6900分钟。假设这些时间资源B都可以用来生产，那么最多可以生产6900/34=202.9个成品。

因为要求每周最少产出140，所以选择140个作为批量，批量越大，在制品越多，越容易超过500个在制品限制。

既然选择了140个每批，那么这四种零件生产数量怎么确定呢？前3个零件每种先生产140个，然后3#零件生产80个，这样在制品正好500个，没有超过限制。在3#零件中，资源B不是瓶颈，而在4种零件总的生产中资源B又是瓶颈，那么资源A和资源C就有时间先生产80个3#零件，防止资源B生产3#零件时挨饿。当资源B在2#，1#和4#零件中均有60个以上的完成品时，它切换生产3#零件，每生产1个3#就可以组装成一个成品运走，在制品减少4个，此时资源A和资源C就可以开始生产剩余的60个3#零件了。

3）瓶颈的尽早开始

可以做一个表格，用来计算资源做了什么，什么时候开始的以及花费了多久的表格，这样就可以在时间轴上画出来。也可以用于绘制甘特图，开始时刻和持续时间是绘制甘特图需要的数据，前3列是辅助列，可以在甘特图的坐标轴里显示（如表6-14所示）。

表6-14 甘特图数据表格

在资源C加工2#零件的过程中，因为2-10是第一道工序，不受其他工序生产的制约，所以资源C从0时刻起开始换线，持续60分，在60分钟时换线完成。时间累积=本行的开始时间+持续时间=下一行的开始时间，在制作EXCEL时，填写持续时间后，时间累积和开始时间是自动计算出来的。在换线完成后，资源C在工序2-10从60分钟这个时间点开始生产140个零件，每个2分钟，花费时间=140×2=280分钟，所以持续时间是280分钟，时间累积=60+280=340。然后花费60分钟换线到4-10，生产140个4#零件，花费时间140×20=2800分钟。

2#零件的生产流程为2-10(C2)—2-20(A3)—2-30(A8)—2-40(B15)，在资源C换线时，资源A和B也开始换线。当资源A完成一个2-10工序的零件时，资源A就可以开始生产了，资源A在3分钟后加工完1个2-20的零件，然后经过60分钟换线，2-30就可以开始生产了。资源A在8分钟后加工完1个2-30的零件，瓶颈B就可以开始生产了，瓶颈B在工序2-40加工需要15分钟。这样瓶颈B在133分钟就可以开始生产了（如表6-15所示）。

表6-15资源A每生产一个换线

此时资源A花费60分钟切换到2-20，花3分钟完成2-20第2个零件的生产，然后花费60分钟切换到2-30，花8分钟完成2-30第2个产品的生产，在264分钟时资源B可以开始第2个产品的生产了。但是资源B从133分钟开始生产2-40的第一个零件，在148分钟时已经完成了。而第二个零件需要在264分钟才能开始，资源B等待了116分钟，大于一次切换的60分钟，这种等待是不经济的。

那么资源A每批生产多少个，资源B才不会挨饿呢？这是一个TOC切批的问题，非瓶颈的切批来减少瓶颈资源的等待，从而使瓶颈尽早开始生产。假设资源A每批生产x个，那么第一批2-20需要花费3x分钟，2-30需要花费8x分钟。资源B在第一批2-30生产完一个就可以开始生产，如果第二批的2-30的第一个完成时间小于B加工上一批的时间，那么B就不会挨饿（如图6-104所示）。

图6-104 第2#零件最小批量

即8x+60+3x+60≤15x，得到x≥30。当资源A每批生产30个时，资源B就不会挨饿，资源A和资源B生产每批的时间相等。

如果140个都以30个每批进行生产，那么资源A和资源B在差不多时间完成2#零件的加工，也在差不多时间开始1#零件的加工。而在1#零件中，资源A在1-10上每个需要5分钟，资源B在1-20上需要3分钟，资源A慢于资源B，那么资源B在1#零件的加工上还需要等待，应该尽可能减少资源B的等待，才能使产出增加。

在2#零件中，资源A需要增加每批的数量，那么增加到多少合适呢？

图6-105 第2#零件切成2批

我们假设将140个零件分成2批加工，第一批为x个，第二批为140-x个，资源B完成x个的时间要大于第一批2-30中的8x加上2次切换时间，再加上第二批2-20种的3(140-x)的时间，即8x+60+3(140-x)+60≤15x，得到x≥54。第一批54个，第二批140-54=86个（如图6-105所示）。

如果140切换成3批，那么资源B是否还可以提前生产呢？设第一批为x，第二批为y，则第三批为140-x-y。这样会产生2个不等式。资源A生产第一批2-30的时间，加上切换时间，加上第二批2-20的时间要小于等于资源B加工第一批的时间，即8x+3y+120≤15x。资源A生产第一批2-30的时间，加上切换时间，加上第二批2-20的时间，加上第二批2-30的时间，加上第三批2-20的时间要小于等于资源B加工前两批的时间，即8x+3y+120+8y+120+3(140-x-y)≤15(x+y)。这样，就产生了2个不等式

8x+3y+120≤15x

8x+3y+120+8y+120+3(140-x-y)≤15(x+y)

图6-106 第2#零件切成3批

得到x≥35.7，y≤43.3，取整数，x=36，y=43，即第一批36个，第二批43个，第三批140-36-43=61个（如图6-106所示）。

在A资源生产2#零件时，将140分成3批，第一批36个，资源A换线60分钟，等待C加工一个2分钟，然后加工36×3=108分钟，换线到2-30需要60分钟，在2-30加工完1个需要8分钟，此时瓶颈B开始生产，瓶颈B不会挨饿而加工完140个2#零件。瓶颈B开始时间为60+2+108+60+8=238分钟。

2#零件还可以切成更多的批次，从而提高瓶颈的开始时间吗？这个是可以做到的。切成2批时，第一批54个，切成3批，第一批36个。批次越多，第一批越少，资源B可以开始的时间越早，但是我们前边计算了，当每批为30个时，瓶颈刚好不挨饿，也就是30个每批是最小批量，考虑到在下一个零件中，资源A速度慢于资源B，如果批量过小，资源B和资源A几乎同时完成2#零件，那么下道零件中，资源B还需要等待，所以将2#零件切成3批是相对合理的。

4）瓶颈时间的计算

在计算出资源B的开始时间，就可以对资源B进行排产了。资源B从0时刻开始，等待238分钟后开始在2-40工序加工140个，耗时210分钟，然后换线到1-20工序加工140个，耗时420分钟，然后换线到4-30工序加工，耗时420分钟，以此类推（如表6-16所示）。

表6-16 瓶颈B的第一次排产

由于有在制品500个的限制，3#零件需要分成80和60两批进行生产，而瓶颈在3#零件中最快，可能会有等待时间，如果有的话，调整一下3#零件即可。

第三步，迁就瓶颈。因为瓶颈的产出决定系统产出，资源B是瓶颈，所以应该尽可能将时间用于生产，非瓶颈资源A和C需要迁就瓶颈，使得产出最大化。因为资源C每个需要33分钟，而资源A需要29分钟，资源C需要的时间更多，灵活性更小，那么在资源A和资源C上，优先给资源C排产，资源A适当迁就资源C。资源A和资源C先满足瓶颈B不挨饿，然后剩余时间再去做瓶颈后边的工序。

5）非瓶颈时间的计算

资源A总的顺序是2-20—2-30—1-10—4-20—1-30—3-20，而资源C总的顺序是2-10—4-10—3-10—1-40—4-50，因为需要迁就瓶颈，有时等待时间较长，可以切换去生产其他工序，保证瓶颈不挨饿即可。

资源A完成1-10的时间是1962分，下一个工序它要去生产4-20，由于这个工序每个它只需要1分钟，那么加上切换60分钟，它的结束时间是1962+60+1×140=2162分。但是它是4-10的后一道工序，4-10在2800分完成，资源A不可能在资源C之前完成4-20，那么它要么需要等待资源C，要么可以切换去生产其他工序。还有另外一个限制，就是它不能让瓶颈在4-30工序挨饿。那么资源A应该在4-20处生产多少个，然后切换去生产其他工序呢？假设资源A在4-20处生产x个，那么资源C从4-10工序开始生产x个的时间要小于资源A从4-20开始生产x个的时间，资源C从400分钟开始生产，资源A从2722分钟开始生产，即400+20x＜2722+x，得到x=116.1个。那么资源A可以在工序4-20先生产110个，然后切换去生产1-30。资源A需要在瓶颈B完成100个4-30前切换回来，提前生产4-20，防止瓶颈B挨饿。资源B从2878分开始在4-30工序加工4号零件，加工100个需要300分钟，即在2878+330=3208分时加工完成，资源A需要在3208前切换回来生产4-20防止瓶颈挨饿，加工1个4-20需要1分钟，那么资源A最晚切换时间是3207。资源C在3200分钟完成4-10的加工，那么资源A最早可以在3201分钟时完成剩余的40个的加工，资源A开始时间=3201-30×1=3171分，再减去切换的60分钟为3171-60=3111分。那么资源A切换回来的最早时间是3111，最晚时间是3207分。那么资源A在1-30可以生产多长时间呢，3207-2892=315分，315/7=45，可以取40个，那么资源A完成40个时间是2832+40×7=3172，小于3207。然后切换到4-20需要60分，生产剩余的40个需要分钟。然后可以切换到1-30生产剩下的100个，切换60分钟，生产700分钟，完成1-40的生产是4022分（如表6-17所示）。

表6-17 资源A的排产过程1

此时资源C已经在3500分时完成了80个3-10的加工，资源A可以切换到3-20完成这80个的加工，切换到3-20花费60分钟，花费80×5=400分钟，那么在4022+60+400=4482分完成，资源A还剩60个3-20没有加工（如表6-18所示）。

表6-18 资源A的排产过程2

摘自《可以量化的管理学》

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