1 向量自回归(VAR)模型
1980年Sims提出向量自回归模型(vector autoregressive model)。这种模型采用多方程联立的形式,它不以经济理论为基础,在模型的每一个方程中,内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归,从而估计全部内生变量的动态关系。
1.1 VAR模型定义
VAR模型是自回归模型的联立形式,所以称向量自回归模型。假设y1t,y2t之间存在关系,如果分别建立两个自回归模型
y1, t = f (y1, t-1,y1, t-2, …)
y2, t = f (y2, t-1,y2, t-2, …)
则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式,就可以建立起两个变量之间的关系。VAR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N,一个是最大滞后阶数k。
以两个变量y1t,y2t滞后1期的VAR模型为例,
y1, t = m1 + p11.1 y1,t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1 t
y2, t = m2 + p21.1 y1,t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2 t (8.1)
其中u1 t, u2 t ~ IID (0, s 2), Cov(u1t, u2 t) = 0。写成矩阵形式是,
=++ (8.2)
设, Yt =, m=, P1 =, ut =,
则, Yt = m + P1 Yt-1+ ut (8.3)
那么,含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下:
Yt = m + P1 Yt-1+ P2 Yt-2+ … + Pk Yt-k + ut, ut~ IID (0, W) (8.4)
其中,
Yt= (y1, t y2, t … yN, t)'
m = (m1 m2 … mN)'
Pj =, j = 1, 2, …, k
ut = (u1 t u2,t … uN t)',
Yt为N´1阶时间序列列向量。 m为N´1阶常数项列向量。P1, … , Pk 均为N´N阶参数矩阵,ut ~ IID (0, W) 是N´1阶随机误差列向量,其中每一个元素都是非自相关的,但这些元素,即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。
因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项,他们与ut是不相关的,所以可以用OLS法依次估计每一个方程,得到的参数估计量都具有一致性。