股票价格的长周期分布应该是普朗克分布

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                股票价格的长周期分布应该是普朗克分布

                           于德浩

                         2018.7.13

股价在整个牛市熊市长周期里，其分布应该是普朗克分布。当然，在股票投资学中，我们近似为正态分布也无伤大雅。无非就是本来左右不对称的2+4个区间，我们近似为对称的3+3个区间。

在经济学里，人们似乎对普朗克分布不熟悉。比方说，社会财富分布或个人家庭收入分布，经济学家统计发现，很明显不是正态分布，形状很像幂级数分布及指数分布。“穷人不多，普通人很多，富人很少，但是很富的亿万富翁总是存在。”其实，普朗克分布来描述这个现象更为恰当。

长周期的股价全概率分布，如果股价从最低的0元到最高的6元，按照正态分布假设，那么（0，1）属于最左侧的-3倍西伽马区间，这部分属于物理屏蔽区间。就是说，股价最低价格不能低于其净资产，当然更不可能是0。

（1，2）区间是期望值3元的左侧-2个标准差处，这牛市的起涨区间。按照正态分布假设，这部分应该占比大约50%-34%-2.5%=13.5%。也就是说，如果经济长周期大约是10年，那么牛市初期会用1年多的时间，涨幅+100%。这段时间一般不低于1年，因为需要一次撒点完成；但不长于2年，毕竟该区间总量子态数占比较小。

（4，6）区间是期望值右侧的2倍和3倍标准差的高股价区间，这部分占比大约是50%-34%=16%。这个是在牛市的末期上涨撒点及熊市的初期下跌撒点回填，这个时间大约是一年半到两年的时间。也就是说，大约在牛市的最后1年，股价上涨+50%，这个股价的绝对增幅很大；而熊市最初的大约8个月时间，就会从顶部下跌1/3。

这是判断牛市末期的一个很重要的信息。当牛市已经持续很多年的很长时间，并且股价已经累积上涨4-6倍，市盈率30倍以上。那么最后1年的大幅上涨+50%，就得引起足够警惕。当然，确认信号，还得看后8个月是否大幅下跌1/3。

看一下当前美股道琼斯工业指数，从2016.11月份开始从18000点大幅上涨至2018.1月的高点26600点，幅度大约是50%。这非常像牛市的末期，而且美股从2009开始到现在已经持续9年的牛市。不过，现在的美股的平均市盈率大约是25，还不算是太高。美股现在是25000点，从前面5个月的下跌来看，一点都不像熊市的大幅下跌。如果我们乐观的估计，按照5倍最大涨幅或市盈率最高30，那么美股应该还有+20%的涨幅，到最高30000点左右。

在投资操作上，现在做多美股也是强弩之末，应该半仓持股；但是，现在还不是做空的时候，得一两年后再做空才稳妥。

（2，4）及（4,2）区间，是期望值附近的中等股价区域，这总共占比约68%，大约是7年的时间。新兴市场往往是快牛慢熊的情形，也就是（2,4）可能几个月就一笔带过，而（4,2）则是长达五六年的漫漫熊市。比方说，我国A股2005-2014的周期就是如此。

不过，成熟市场总是长牛慢熊的情形。也就是说，概率密度最大的区域，要在股价上涨途中主要填充，而熊市回填只是一少部分。显然，这期间就持续时间很长，股价上涨很慢。我们现在2014年开始的新的周期，就是长牛市情形。不过，由于A股市场现在还不是太成熟，所以还是以“宽幅震荡”构成中期慢牛。而非常成熟的美股，基本就是窄幅震荡缓慢爬升，不怎么跌但涨速是真慢。

由于期望值3附近的股价量子态概率密度最大，所以必然会在牛市上涨期留下很多空穴，这就要求熊市的下跌回填必须在期望值的左侧为止。也就是说，熊市的最大跌幅一定要大于3/6。这是判断股价回调及熊市大跌的一个很重要的标准。

比方说，2015年的“股灾”大跌，跌幅并没有超过一半，所以，还是一次牛市中的回调。50ETF股价走势从2014年的最低1.4元，到2015年的高点3.5元，到2016年的低点1.9元，到2018.1月的3.2元高点，再到现在的2.5元低点附近。这是非常典型的（2,3）区间的震荡上升走势。

股价长周期期望值的估计，大约是格雷厄姆所言的16倍市盈率。股市的平均年收益率大约是10%，应该等于其倒数，即10倍的市盈率。但是，要考虑到风险溢价，因此16倍市盈率才是股票的价值。

现在，50ETF的市盈率大约是10倍，明显在股价期望值的左侧。中国A股当前的市场估值是洼地，大约才是美股当前25倍市盈率的一半。所以说，长线来看，我国A股还在牛市上涨的中期，而美股已经进入牛市的末期。

如果，股价分布是普朗克分布而不是高斯分布，那么股价中低价位的量子态就会相对较多，而中高价位的量子态总数就会少。比方说，正态分布（2,3）及（3,4）均是占比34%；而普朗克分布中（2,3）的占比就是更多的45%，而（3,4）可能就只有20%。

现在50ETF的股价是2.5，期望值估计是3.3，标准差估计是1.1。现在正处于（2,3）的牛市中期上涨区间，这就意味着持续时间会很长，涨速不是太快，或者宽幅震荡。这期间股价时不时回调一下，是非常正常的情形。“高抛低吸”也许能获利丰厚，但是很难把握；而“逢低买入加仓”是比较稳妥的做法。

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关键词：股票价格 长周期 普朗克 平均市盈率 正态分布