单利和复利，数学计算和物理方法

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               单利和复利，数学计算和物理方法

                    于德浩

                         2019.10.17

货币是有时间价值的，这源于人们在经济活动中的权衡。比方说，你是现在得到100元，还是一年后得到102元呢？ 这对于去银行存款，想获取年利息2%的人来说是一样的。

这里就引出货币的终值计算公式，100*（1+r）=102。从相反的方向考虑就是货币的现值公式，100=102/（1+r）。就是说，你现在拥有100元，与一年后拥有102元是一样的，与两年后拥有104.04元也是一样的。这里的年利息率2%，就是投资收益率，默认的复利。

为了口算方便，人们一般会把复利近似为单利。比方说，100元存银行，年利息2%，两年后的本金和利息大约是100+2*2%=104元，略去0.04元的精算。当利息率很低、期限不长时，单利与复利是差别很小的。比方说，银行存款2%年利率，存20年，单利计算是最后140%，复利的精算是149%，差不多。

但是，当投资收益率很高时，复利就会远多于单利。比方说年20%，十年后的复利是619%，而单利是300%；二十年的复利是3800%，单利仅是500%。复利的物理意义（经济学意义）是利润再投资。 如果一张债券面值100元，票面利率是年20%，如果是二十年后一次付清，那么就是到期本息支付总共3800元。

如果投资人不会指数计算，那么他就要求债券每年付息20元。假设投资人初始本金是10000元，买100张债券；第一年就会收到2000元利息；利息再投资，这时就是总共120张债券；第二年，就会收到利息120*20=2400元，利息再投资，就是总共144张债券。

如果投资人在收到每年的利息时，没有再投入，那么这就是单利行为。最后，投资人还是持有100张债券，价值10000元，二十年利息总计是2000*20=40000元，最后本息合计是50000元。这比利息再投资的复利行为的最终380000元，要少很多。

复利的终值计算是指数形式，在没有计算机的时代，硬算是很复杂的。比方说，1.1^10=? 我们可以进行数学近似计算。（1+r）^n的泰勒展开式是1+r*n+r^2*n(n-1)/2+r^3* n(n-1)(n-2)/6+…… 如果我们取二阶近似，口算就可以了，1+0.1*10+0.01*10*9/2=2.45，这与科学计算器硬算的2.59相差就很小了。

关键是看泰勒近似展开式的每一项的物理意义。第一项“1”，我们称为零阶近似，就是指本金；第二项“0.1*10”，我们称为一阶近似，这是指单利，仅是本金产生的利息；第三项“0.45”就是二阶近似，这里体现的就是复利与单利的差别。省略号就是指后面的高阶无穷小，可忽略不计。对于债权人来讲，他可以粗略的说，“你首先得还我本金，然后是本金产生的利息，最后是每年利息产生的利息（利滚利）。”

数学计算是通用工具，而物理方法往往针对具体问题。比方说，计算下面等式x/(1+x)+x/(1+x)^2+x/(1+x)^3+x/(1+x)^4+x/(1+x)^5+1/(1+x)^5。如果是从前往后硬算的话，要用到等比数列的求和公式，这还是挺复杂的。当然，这里有一个数学小技巧，从后往前，每两项一次通分，发现恰巧这个式子的最后结果是“1”。

如果赋予这算式一个物理意义（经济学意义），这个恰巧为“1”就非常好理解了。债券价格（价值）实际就是未来现金流的贴现。一个现金流贴现恒等式，

100=100*r/（1+r）+100*r/(1+r)^2+100*r/(1+r)^3+…+100*r/(1+r)^n+100/(1+r)^n。

这是说，债券现值100元就等于未来的各期利息及最后兑付本金的现金流折现之和。

应用一下，那个数学算式再复杂，最后结果必然是“恰巧为1”，这就是用物理的方法来解数学问题。

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