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| 文件名: An Introduction to Computational Finance without Agoizing Pain - Forsyth.pdf | |
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Peter Forsyth 2013 December 6, 2013Contents 1 The First Option Trade 4 2 The Black-Scholes Equation 4 2.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 A Simple Example: The Two State Tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4 A hedging strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.5 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.6 Geometric Brownian motion with drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.6.1 Ito's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6.2 Some uses of Ito's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6.3 Some more uses of Ito's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6.4 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7 The Black-Scholes Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.8 Hedging in Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.9 The option price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.10 American early exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 The Risk Neutral World 20 4 Monte Carlo Methods 22 4.1 Monte Carlo Error Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2 Random Numbers and Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 The Box-Muller Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3.1 An improved Box Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.4 Speeding up Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.5 Estimating the mean and variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.6 Low Discrepancy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.7 Correlated Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.8 Integration of Stochastic Di 4.8.1 The Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.8.2 Strong and Weak Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.9 Matlab and Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5 The Binomial Model: Overview 41 5.1 A Binomial Model Based on the Risk Neutral Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 A No-arbitrage Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3 A Drifting Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3.1 Numerical Comparison: No-arbitrage Lattice and Drifting Lattice . . . . . . . . . . . 47 5.4 Smoothing the Payo 5.4.1 Richardson extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.5 Matlab Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.6 Dynamic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6 More on Ito's Lemma 56 7 Derivative Contracts on non-traded Assets and Real Options 59 7.1 Derivative Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.2 A Forward Contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.2.1 Convenience Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.2.2 Volatility of Forward Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8 Discrete Hedging 65 8.1 Delta Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.2 Gamma Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8.3 Vega Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.4 A Stop-Loss Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8.4.1 Pro t and Loss: probability density, VAR and CVAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 9 Jump Di 9.1 The Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 9.2 The Jump Di 9.3 An Alternate Derivation of the Pricing Equation for Jump Di 9.4 Simulating Jump Di 9.4.1 Compensated Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9.4.2 Contingent Claims Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 9.5 Matlab Code: Jump Di 10 Regime Switching 84 11 Mean Variance Portfolio Optimization 85 11.1 Special Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 11.2 The Portfolio Allocation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 11.3 Adding a Risk-free asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 11.4 Criticism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 11.5 Individual Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 12 Some Investing Facts 96 12.1 Stocks for the Long Run? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 12.2 Volatility Pumping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 12.2.1 Constant Proportions Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 12.2.2 Leveraged Two Times Bull/Bear ETFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 12.3 More on Volatility Pumping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 12.3.1 Constant Proportion Portfolio Insurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 12.3.2 Covered Call Writing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 12.3.3 Stop Loss, Start Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 13 Further Reading 107 13.1 General Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 13.2 More Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 13.3 More Technical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 |
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