List of Figures vi

List of Tables vii

1 Introduction 1

1.1 Two Recent Methodologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Options and Valuation Techniques 4

2.1 Class of Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 Asian Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.3 Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Models for Underlying Asset Price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Geometric Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.2 Ornstein-Uhlenbeck Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.3 Cox Ingersoll Ross process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Monte Carlo Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.2 Asian Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.3 Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.4 Advantages and Disadvantages of Monte Carlo Methods . . . . . . . . . . 15

2.4 Black Scholes PDE and Analytical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.1 Analytical Solution for European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.2 Analytical Solution for Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.3 Assumptions and Shortcomings of Black Scholes Formula . . . . . . . . . 18

3 Semi-Parametric Approach for Bounding Option Price 20

3.1 Review of Basic Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 SDP Formulation of the Bounding Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Computing the Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Method of Moments and SDP Relaxations 31

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Deriving In nite-Dimensional LP Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.1 Basic Adjoint Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.2 Martingale Moment Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.3 Using Available Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.4 Using Martingale Moments Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Polynomial Optimisation and Problem of Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Notation and De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.2 Necessary Moment conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iv

4.3.3 SDP Relaxations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Finite Dimensional Relaxations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 SDP Relaxations for European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5.1 Moments Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.6 SDP Relaxations for Asian Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.6.1 Moments Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.7 SDP Relaxations for Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.7.1 Down-and-out Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.7.2 Up-and-out Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.7.3 Double Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.7.4 Evaluating Basic Adjoint Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Numerical Results and Analysis 55

5.1 SDP Moment Approach for Pricing Exotic Options . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.1 European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1.2 Asian Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1.3 Down-and-out Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1.4 Up-and-out Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1.5 Double Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2 Semi-parametric Approach for Pricing European Options . . . . . . . . . . . . . 82

6 Conclusion 86

6.1 Numerical Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2 Future Direction of Research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A Tables and Figures for Numerical Results 89

A.1 Semi-parametric Approach for Pricing European Options . . . . . . . . . . . . . 89

A.2 SDP Moment Approach for Pricing Exotic Options . . . . . . . . . . . . . . . . . 89