<P><BR></P>
<Palign=center>吃饱与理性是否一致依赖于边际效用与吃饱的定义<o:p></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P >有人提出，“<B><I >按照西方经济学的理论，你不能吃饱饭的，否则，你就不是理性的”。</I></B>其认证如下：<o:p></o:p></P>
<Palign=left><I >1</I><I >、概念的说明</I><I ><o:p></o:p></I></P>
<Palign=left><I >（</I><I >1</I><I >）吃饭是要花钱的，且钱的效用大于</I><I >0</I><I >；</I><I ><o:p></o:p></I></P>
<Palign=left><I >（</I><I >2</I><I >）在市场经济条件下；</I><I ><o:p></o:p></I></P>
<Palign=left><I >（</I><I >3</I><I >）吃饱时，</I><I >TU</I><I >最大，</I><I >MU=0</I><I >；这应是共识吧</I><I >.<o:p></o:p></I></P>
<Palign=left><I >2</I><I >、不能吃饱的证明：</I><I ><o:p></o:p></I></P>
<Palign=left><I >假定只购买一种食品吃，按经济学理论，最优购买量是</I><I >MU=l</I><I ><FONT face="Times New Roman">P>0,</FONT></I><I >若你购买到吃饱时才不买</I><I ><FONT face="Times New Roman">,</FONT></I><I >则</I><I ><FONT face="Times New Roman">MP=0<lP, </FONT></I><I >你就不是理性经济人了</I><I ><FONT face="Times New Roman">.</FONT></I><I >如果是理性经济人</I><I ><FONT face="Times New Roman">,</FONT></I><I >你就不能吃饱</I><FONT face="Times New Roman"><I >.</I><I ><o:p></o:p></I></FONT></P>
<Palign=left><I >若你购买的是一种以上的商品，则最优购买量按经济学理论应满足</I><I ><FONT face="Times New Roman">MU1/P1=MU2/P2>0</FONT></I><I >的要求</I><I ><FONT face="Times New Roman">.</FONT></I><I >当然也不能吃饱</I><I ><FONT face="Times New Roman">,</FONT></I><I >否则</I><I ><FONT face="Times New Roman">,</FONT></I><I >同样是不理性的了</I><FONT face="Times New Roman"><I >.</I><I ><o:p></o:p></I></FONT></P>
<Palign=left><o:p> </o:p></P>
<P >那么上述问题的实质是什么呢，笔者对其进行了系统研究，发现这主要是一个概念定义的问题。<o:p></o:p></P>
<P >这个问题的解决，必须要区分物品在效用函数中的边际效用与物品在效用最大化决策中的边际效用，这涉及到数学规划的问题。<o:p></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P >一．经济学分析基础知识：预算区域与效用函数的拟凹性<o:p></o:p></P>
<P >在标准消费决策理论里面，预算线方程是<FONT face="Times New Roman">PxX+PyY=M</FONT>，预算线与<FONT face="Times New Roman">X</FONT>、<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>轴所围成的图形称为预算内区域，是消费者决策的可行区域。<o:p></o:p></P>
<P >而效用函数设定为拟凹函数，它与凹函数不同，拟函数并不一定边际效用递减。比如<FONT face="Times New Roman">U</FONT>＝<FONT face="Times New Roman">XY</FONT>并不是边际效用递减。边际效用递减对于消费者最优决策并不必要。不过，这里为了与通常的新古典经济学保持一致，仍然假定边际效用递减。<o:p></o:p></P>
<P >二．问题的解决<o:p></o:p></P>
<P >下面讨论文首给出的问题。分两种情况讨论。<o:p></o:p></P>
<P ><FONT face="Times New Roman">1</FONT>、只有一种商品的情形<o:p></o:p></P>
<P >消费者最优决策写成是<o:p></o:p></P>
<P ><FONT face="Times New Roman">Max U=U(X) s.t. PxX=M</FONT>，<FONT face="Times New Roman">X>=0<o:p></o:p></FONT></P>
<P >很显然，这时候消费者的最优决策是把所有收入用完，且完全花在<FONT face="Times New Roman">X</FONT>上面。我们假定价格不变，即完全竞争市场假定。这时候<FONT face="Times New Roman">X</FONT>的最大购买量由预算式给出，<FONT face="Times New Roman">Xmax</FONT>＝<FONT face="Times New Roman">M/Px</FONT>。但是最优的<FONT face="Times New Roman">X</FONT>购买量则取决于效用函数本身的形状。有两种情况：<o:p></o:p></P>
<P >（<FONT face="Times New Roman">1</FONT>）如果效用函数的极大值点小于<FONT face="Times New Roman">Xmax</FONT>，则最优决策时，边际效用为零。<o:p></o:p></P>
<P >这时候效用函数是凹函数。<o:p></o:p></P>
<P >如果把吃饭饱定义为边际效用为零，当然，这时候可以说，既是吃饱了，又是符合理性选择的。<o:p></o:p></P>
<P >（<FONT face="Times New Roman">2</FONT>）如果效用函数的极值点等于<FONT face="Times New Roman">Xmax</FONT>，则边际效用不为零，而是为正。这就是库恩塔克定理。这时候效用函数可以是凹函数，也可不是凹函数而是拟凹函数。<o:p></o:p></P>
<P >如果把吃饱定义为边际效用为零，那么这时候显然没有吃饱，但是这是因为预算约束所导致的，是收入不够所导致的，在非洲经常出现的饥荒就表明了这种情况。这时候是收入不够导致了不能够吃饱，而不是理性选择一定意味着吃不饱。<o:p></o:p></P>
<P >无论是上面哪种情况，都不存在着悖论。<o:p></o:p></P>
<P ><FONT face="Times New Roman">2</FONT>、两种商品的情况<o:p></o:p></P>
<P >消费者最优决策写成：<o:p></o:p></P>
<P ><FONT face="Times New Roman">Max U=U(X,Y)<o:p></o:p></FONT></P>
<P ><FONT face="Times New Roman"> s.t. PxX+PyY=M</FONT>，<FONT face="Times New Roman">X></FONT>＝<FONT face="Times New Roman">,Y></FONT>＝<FONT face="Times New Roman">0<o:p></o:p></FONT></P>
<P >约束条件实际上设定了预算区域为一个三角形区域。<o:p></o:p></P>
<P >这时候问题又可以分为两种情况<o:p></o:p></P>
<P >（<FONT face="Times New Roman">1</FONT>）效用函数的驻点在预算区域内，即存在所谓魇足的情况。<o:p></o:p></P>
<P >首先我们假定效用函数存在驻点，这对应于单变量函数的第（<FONT face="Times New Roman">1</FONT>）种情况，即效用函数驻点小于预算所允许的最大值的情形。这种情况一般不是教科书分析的典型情况，因此一般读者可能不太熟悉，不过我们从数学的角度来看，是存在的。因此，消费者行为理论作为应用数学的一个例子，主要应该以数学分析为主，从数学上找出所有可能情况。<o:p></o:p></P>
<P >这时候效用最大化决策是内点解，消费者在达到效用最大化时，收入还没有花完，还有剩余。即最优解处于预算区域的内部，属于预算区域的内点，而不是在预算线上。这是真正的内点解。如果最优选择刚好在预算线上面，这称为边界解，它不是角点解，也不是内点解。<o:p></o:p></P>
<P >在效用函数的驻点处于预算区域的内部而不是边界上时，有约束最优解与无约束最优解的结果是一样的。达到最优消费组合时，每种商品的边际效用都等于零，而且当效用函数可微时，在最优点，效用函数沿各个方向的方向导数都等于零。这是因为效用函数在最优点的两个偏导数都等于零，从而它沿任何方向的方向导数都等于零。<o:p></o:p></P>
<P >当最优点是内部解时，从最优解出发，可以沿着任何方向进行调整，<FONT face="Times New Roman">X</FONT>与<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>可以同时增加，也可以同时减小，也可以一个增加一个减校<o:p></o:p></P>
<P ><B >如果把吃饱定义为</B><B >效用函数</B><B >对于每个决策变量的边际效用（偏导数）为零</B>，这种定义在效用函数的驻点在预算区域之内的情况下是符合理性选择的，这时候我们可以单独说每一种物品都吃饱了。即在最优解处，效用函数关于<FONT face="Times New Roman">X</FONT>的偏导数为零，因此我们可以说<FONT face="Times New Roman">X</FONT>吃饱了；在最优解处，效用函数关于<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>的偏导数为零，因此我们也可以说<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>吃饱了。这时候人们的理性选择即最优点，意味着人们对于每一种物品都吃饱了。<o:p></o:p></P>
<P >在这种定义下，我们可以不用考虑预算约束，直接只考虑消费目标即效用函数本身。也即，这时候，在数学上，有约束最值问题与无约束最值问题的解是一回事，有约束问题的解可以简化化无约束问题的解。这时候我们可以不考虑预算约束的影响，而直接考虑怎样“绝对地”在生理上吃饱。这种吃饱显然也是符合理性选择的。虽然我们把有约束情况下的最优选择定义为理性选择。<o:p></o:p></P>
<P ><B >如果我们把吃饱定义为</B><B >效用最大化决策</B><B >对于每个决策变量的边际效用（不再是偏导数）为零</B>，这种关于吃饱的定义在效用函数的驻点在预算区域之内的情况下也是符合理性选择的。由于最优点是预算区域的内点，因此在最优点，消费者可以向任何方向进行调整；因此当然消费者可以只增加某一种物品的消费量而不改变其它物品的消费量，即从最优点向<FONT face="Times New Roman">X</FONT>正方向调整与向<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>轴正方向调整。这时候，在微量调整范围内，可以说<FONT face="Times New Roman">X</FONT>与<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>的调整是相互独立的，也就是说，单独增加<FONT face="Times New Roman">X</FONT>消费一单位（或者一个微分量），可以不减少<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>的消费，单独增加<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>也一样。因此，此时<B ><I ><U>效用最大化决策的边际效用</U></I></B>与<B ><I ><U>效用函数的边际效用</U></I></B>是一回事情。<o:p></o:p></P>
<P >值得注意的是，效用函数的边际效用与效用最大化决策的边际效用在有多个物品的情形下并不是同一个概念。而通常的教材则并没有对此清楚地阐述，本文仔细研究这个问题，希望能够成为教材的补充。也希望这里的回答能够给许多经济学学生一个更加清晰的概念框架。<o:p></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P >（<FONT face="Times New Roman">2</FONT>）效用函数的驻点在预算区域之外或者效用函数不存在驻点<o:p></o:p></P>
<P >这是通常教科书所分析的典型情况。效用函数的驻点在预算区域之外或者效用函数不存在驻点，在预算区域内的决策是完全一样。<o:p></o:p></P>
<P >这时候的最优解通常是在预算线取得。当然也可能存在角点解。但我们这里不考虑角点解情况，对于角点解情况，大家很容易进行举一反三地分析。<o:p></o:p></P>
<P >最优解在预算线上取得，这是一种边界解，也是内点解，但不是角点解。角点解指至少某一决策变量取其可能取值的最大值或最小值。内点解指所有决策变量的最优取值都是取其最大可能取值与最小可能取值之间的中间值。而边界解指最优解处于可行区域的边界点。内部解指最优解是可行区域的内点。内点解与角点解的定义基于某一个决策变量，而边界解与内部解则基于决策向量的可行区域。<o:p></o:p></P>
<P >根据通常的教科书，此时最优决策意味着<o:p></o:p></P>
<P ><FONT face="Times New Roman">MUx/Px=MUy/Py=</FONT>λ<o:p></o:p></P>
<P >其中边际效用与价格之比通常被称为货币的边际效用。如果把吃饱定义为边际效用为零，根据最优条件，确实可以看到，这时候确实没有吃饱，因为货币的边际效用不等于零。<o:p></o:p></P>
<P >这个公式确实提出了一个问题，那就是吃饱与理性的关系问题。如果把吃饱定义为边际效用为零，那么根据消费者最优选择的条件，人在理性选择时一定没有吃饱；而当人们吃饱了，即边际效用为零了，则一定不是最优的理性选择。<o:p></o:p></P>
<P >本文的研究表明，这主要是定义的问题。我们前面已经提到过，在多个物品的情况下，<B ><I ><U>效用函数的边际效用</U></I></B>与<B ><I ><U>效用最大化决策的边际效用</U></I></B>不是一回事情。我们应该严格区别<B ><I ><U>效用函数的边际效用</U></I></B>与<B ><I ><U>效用最大化决策的边际效用</U></I></B>。<o:p></o:p></P>
<P >下面我们详细定义<B ><I ><U>效用函数的边际效用</U></I></B>与<B ><I ><U>消费者效用最大化决策的边际效用</U></I></B>。<o:p></o:p></P>
<P >效用函数的边际效用是一个经济学概念，实际上是函数的偏导数在离散与连续情形下的一般化。在连续情形下，可以视之为偏导数。效用函数的边际效用概念可以不考虑在实际的效用最大化决策中的预算约束条件。<o:p></o:p></P>
<P >效用最大化决策中每一个决策变量的边际效用却是指每一个决策变量在增加最后一单位时，所引起的决策目标值即效用的增加。在效用最大化决策中考虑边际效用时，必须考虑到约束条件是否真正地起作用。前面在分析效用函数的驻点在预算约束之内时，已指出，那时候预算约束对于求解最优解实际上不起作用。但是无论预算约束是否起作用，我们在考虑效用最大化决策的边际效用时，必须以整个决策模型或数学规划模型为前提，不能够只考虑效用函数本身。<o:p></o:p></P>
<P >效用最大化决策的边际效用概念本质上是一个属于数学规划的概念，它针对的是效用最大化决策，而不仅仅针对效用函数本身。或者说，效用最大化决策的边际效用这个概念是消费者的效用最大化决策的一个属性，而不是目标函数——效用函数的一个属性。相反，效用函数的边际效用这个概念却只是针对效用函数本身，与消费者的效用最大化决策无关。<o:p></o:p></P>
<P >既然“决策变量在最优化决策中的边际效用”这个概念针对的是消费者的效用最大化决策而不仅仅是针对效用函数本身，因此这个边际效用必须要考虑预算约束，而效用函数的边际效用则不必考虑预算约束。虽然我们的教材讲到边际效用时只是讲到“物品在效用函数中的边际效用”，而没有考虑到“物品在效用最大化决策中的边际效用”，但是我们作为经济学学生与研究者，则必须要清楚地考虑这些问题。<o:p></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P >在效用函数的驻点位于预算约束区域之内时，效用最大化决策的边际效用与效用函数的边际效用的区别确实没有必要，但是在最优选择是预算线上的一点的情况下，这种区别就尤其重要了。<o:p></o:p></P>
<P >在通常的教材中所写的<o:p></o:p></P>
<P ><FONT face="Times New Roman">MUx/Px=MUy/Py=</FONT>λ<o:p></o:p></P>
<P >其中物品的边际效用实际上是指物品在效用函数中的边际效用，而不是指物品在效用最大化决策的边际效用。而λ则是指货币在效用最大化决策中的效用，而不是指货币在效用函数中的效用。<o:p></o:p></P>
<P >在预算线上，<FONT face="Times New Roman">X</FONT>在效用函数中的边际效用是指，<FONT face="Times New Roman">X</FONT>沿着<FONT face="Times New Roman">X</FONT>正方向调整一单位时，对于效用函数的增加量。显然，这根本可以不受预算约束的影响。<o:p></o:p></P>
<P >在预算线上，<FONT face="Times New Roman">X</FONT>在效用最大化决策中的边际效用是指，<FONT face="Times New Roman">X</FONT>增加一单位所引起的决策目标的改变值。而我们知道，这时候由于最优点处于预算线上，增加一单位<FONT face="Times New Roman">X</FONT>必须以减少<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>为代价。因此，在这个有约束的数学规划决策中，增加一单位<FONT face="Times New Roman">X</FONT>的边际效用（或者边际目标值，边际目标值这个概念适合于任何数学规划，笔者在运筹学教学中一直以边际目标值来称呼，可能与通常教材称呼不同），不仅要计算增加一单位<FONT face="Times New Roman">X</FONT>所带来的效用增加，而且要计算因此而带来的<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>的减少而引起的<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>所带来的效用的减少，把这两方面合在一起，才是增加一单位<FONT face="Times New Roman">X</FONT>所带来的边际效用，即最优化决策的边际效用。<o:p></o:p></P>
<P >我们知道，增加一单位<FONT face="Times New Roman">X</FONT>，对于效用目标的直接影响是增加效用<FONT face="Times New Roman">MUx</FONT>，但是不得不减少在<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>上的购买金额为<FONT face="Times New Roman">Px</FONT>元，即不得不减少<FONT face="Times New Roman">Px/Py</FONT>这么多的<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>的消费，而我们假定每单位<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>的效用仍然是<FONT face="Times New Roman">MUy</FONT>，这样一来，增加一单位<FONT face="Times New Roman">X</FONT>，就不得不减少<FONT face="Times New Roman">Px/Py</FONT>单位<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>所带来的效用水平<FONT face="Times New Roman">MUy*Px/Py</FONT>，因此增加一单位<FONT face="Times New Roman">X</FONT>所带来的最大化决策的边际效用为：<o:p></o:p></P>
<P ><FONT face="Times New Roman">MU<SUB>xdm</SUB>=MUx</FONT>－<FONT face="Times New Roman">MUy*Px/Py<o:p></o:p></FONT></P>
<P >这就是当决策变量<FONT face="Times New Roman">X</FONT>在预算线上调整时，所带来的在决策中的边际效用。其中下标<FONT face="Times New Roman">dm</FONT>表示决策<FONT face="Times New Roman">decision making</FONT>。<o:p></o:p></P>
<P >同理，决策变量<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>在预算线上调整时，所带来的在决策中的边际效用为<o:p></o:p></P>
<P ><FONT face="Times New Roman">MU<SUB>ydm</SUB>=MUy</FONT>－<FONT face="Times New Roman">MUx*Py/Px<o:p></o:p></FONT></P>
<P >或者说，在预算线上，增加一单位<FONT face="Times New Roman">X</FONT>所带来的决策的边际效用实际上对于决策目标——效用函数——而言将是一个在预算线方向上的方向导数而不仅仅是效用函数的偏导数。关于方向导数的概念参见数学分析教材。<o:p></o:p></P>
<P >在达到最优选择时，由于<FONT face="Times New Roman">MUx/Px=MUy/Py=</FONT>λ<o:p></o:p></P>
<P >因此，<FONT face="Times New Roman">MU<SUB>xdm</SUB>= MUx</FONT>－<FONT face="Times New Roman">MUy*Px/Py=0<o:p></o:p></FONT></P>
<P >即在决策达到最优时，物品<FONT face="Times New Roman">X</FONT>在决策中的边际效用为零。同理可证，物品<FONT face="Times New Roman">Y</FONT>在决策中的边际效用为零。<o:p></o:p></P>
<P >因此，如果把吃饱某物品定义为某物品在消费者的效用最大化决策中的边际效用为零，则我们可以说，最优决策将导致对每一物品吃饱。<o:p></o:p></P>
<P >但是如果我们把吃饱只是定义为某物品在效用函数中的边际效用为零，那么显然我们可以看到，在达到最优选择时，<FONT face="Times New Roman">MUx</FONT>与<FONT face="Times New Roman">MUy</FONT>都不为零，即这时候理性选择对应于没有吃饭任何一种物品。<o:p></o:p></P>
<P >在达到最优选择时，<FONT face="Times New Roman">MUx/Px=MUy/Py=</FONT>λ<o:p></o:p></P>
<P >其中λ的含义是货币的边际效用。这里货币的边际效用实际上是指货币在效用最大化决策中的边际效用，而不是指货币在效用函数中的边际效用。因此，上式不过表明了，物品在效用函数中的边际效用与价格之比等于货币在最优化决策中的边际效用。在最优决策时，货币在决策中的边际效用（边际目标值，在运筹学教材中通常称之影子价值、影子效用等）为正，正表明了收入增加可以使得预算线外移，从而能够增加总效用，这也非常合理，没有悖论。<o:p></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P >因此，本文回答了吃饱与理性的关系问题，其实质在于物品在效用函数中的边际效用与物品在效用最大化决策中的边际效用，并把吃饱定义为哪个边际效用为零的问题。而笔者认为，把吃饱定义为物品在效用最大化决策中的边际效用为零更为合理。<o:p></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P >结论：<o:p></o:p></P>
<P >如果把吃饱定义为某物品在消费者的效用最大化决策中的边际效用为零，那么在达到最优选择时，人们对于各种物品都吃饱了的。<o:p></o:p></P>
<P >如果把吃饱定义为某物品在效用函数中的边际效用为零，那么在达到最优选择时，人们可能吃饱（在效用函数的驻点位于预算约束线之内或者说效用函数的极大值点是预算区域的内点）也可能没有吃饱（在效用函数没有驻点或者驻点在预算区域之外时）。<o:p></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>
<P ><o:p><FONT face="Times New Roman"> </FONT></o:p></P>