Heinz Georg Schuster and Wolfram Just
Deterministic Chaos An Introduction
[混沌学引论]

混沌学已成为一场迅速发展的运动，这场运动。正在重构科学大厦的基矗人们认为：“20世纪载入科学史册的将只有三件事：相对论、量子力学和混沌学。” “混沌学已成为物理学在20世纪的第三次伟大革命。”《混沌学引论》系介绍混沌学的世界名著。《混沌学引论》的目的是以物理学家的观点为这一领域提供一本自成体系的入门书。《混沌学引论》的蓝本来自于著名科学家H.G.舒斯特（H.G. Schuster）在法兰克福大学的一系列讲座。像科尔莫哥洛夫熵、奇异吸引子等等新概念或者是像泛函的重正化群这些新技术都是在初级的水平上引入的。《混沌学引论》因而适宜于从事自然科学、社会科学研究而又关心混沌学的广大读者阅读。











[目录]

Table ofContents v
Preface ix
ColorPlates xiii


1 Introduction 1


2 ExperimentsandSimpleModels 7

2.1 Experimental Detection of Deterministic Chaos . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Driven Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Rayleigh–B′enard System in a Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Stirred Chemical Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4 H′enon–Heiles System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 The Periodically Kicked Rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Logistic Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 H′enon Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Chirikov Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


3 PiecewiseLinearMapsandDeterministicChaos 19

3.1 The Bernoulli Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Characterization of Chaotic Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Liapunov Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Invariant Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.3 Correlation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Deterministic Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


4 UniversalBehaviorofQuadraticMaps 33

4.1 Parameter Dependence of the Iterates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Pitchfork Bifurcation and the Doubling Transformation . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Pitchfork Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Supercycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.3 Doubling Transformation andα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.4 Linearized Doubling Transformation andδ . . . . . . . . . . . . . . 43
vi Contents
4.3 Self-Similarity,UniversalPowerSpectrum,andtheInfluenceofExternalNoise 46
4.3.1 Self-Similarity in the Positions of the Cycle Elements . . . . . . . . . 46
4.3.2 Hausdorff Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.3 Power Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.4 Influence of External Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Behavior of the Logistic Map for r∞ ≤r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.1 Sensitive Dependence on Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.2 Structural Universality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4.3 Chaotic Bands and Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Parallels between Period Doubling and Phase Transitions . . . . . . . . . . 61
4.6 Experimental Support for the Bifurcation Route . . . . . . . . . . . . . . . 64


5 TheIntermittencyRoutetoChaos 69

5.1 Mechanisms for Intermittency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.1 Type-I Intermittency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1.2 Length of the Laminar Region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Renormalization-Group Treatment of Intermittency . . . . . . . . . . . . . 75
5.3 Intermittency and 1/f-Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Experimental Observation of the Intermittency Route . . . . . . . . . . . . 84
5.4.1 Distribution of Laminar Lengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4.2 Type-I Intermittency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4.3 Type-III Intermittency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86


6 StrangeAttractorsinDissipativeDynamicalSystems 89

6.1 Introduction and Definition of Strange Attractors . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.1 Baker’s Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.1.2 Dissipative H′enon Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 The Kolmogorov Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2.1 Definition of K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2.2 Connection of K to the Liapunov Exponents . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.3 AverageTimeoverwhichtheStateofaChaoticSystemcanbePredicted100
6.3 Characterization of the Attractor by a Measured Signal . . . . . . . . . . . 102
6.3.1 Reconstruction of the Attractor from a Time Series . . . . . . . . . . 103
6.3.2 Generalized Dimensions and Distribution of Singularities in the In-
variant Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3.3 Generalized Entropies and Fluctuations around the K-Entropy . . . . 115
6.3.4 Kaplan–Yorke Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 Pictures of Strange Attractors and Fractal Boundaries . . . . . . . . . . . . 122


7 TheTransitionfromQuasiperiodicitytoChaos 127

7.1 Strange Attractors and the Onset of Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.1.1 Hopf Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.1.2 Landau’s Route to Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.3 Ruelle–Takens–Newhouse Route to Chaos . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1.4 Possibility of Three-Frequency Quasiperiodic Orbits . . . . . . . . . 131
7.1.5 Break-up of a Two-Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Contents vii
7.2 Universal Properties of the Transition from Quasiperiodicity to Chaos . . . . 136
7.2.1 Mode Locking and the Farey Tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2.2 Local Universality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2.3 Global Universality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3 Experiments and Circle Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.3.1 Driven Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3.2 Electrical Conductivity in Barium Sodium Niobate . . . . . . . . . . 153
7.3.3 Dynamics of Cardiac Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.3.4 Forced Rayleigh–B′enard Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.4 Routes to Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.4.1 Crises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158


8 RegularandIrregularMotioninConservativeSystems 161

8.1 Coexistence of Regular and Irregular Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.1.1 Integrable Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.1.2 Perturbation Theory and Vanishing Denominators . . . . . . . . . . . 165
8.1.3 Stable Tori and KAM Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.1.4 Unstable Tori and Poincar′e–Birkhoff Theorem . . . . . . . . . . . . 167
8.1.5 Homoclinic Points and Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.1.6 Arnold Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.1.7 Examples of Classical Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.2 Strongly Irregular Motion and Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.2.1 Cat Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.2.2 Hierarchy of Classical Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.2.3 Three Classical K-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180


9 ChaosinQuantumSystems? 183

9.1 The Quantum Cat Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.2 A Quantum Particle in a Stadium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.3 The Kicked Quantum Rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187


10 ControllingChaos 193

10.1 Stabilization of Unstable Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.2 The OGY Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.3 Time-Delayed Feedback Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.3.1 Rhythmic Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.3.2 Extended Time-Delayed Feedback Control . . . . . . . . . . . . . . 201
10.3.3 Experimental Realization of Time-Delayed Feedback Control . . . . 202
10.4 Parametric Resonance from Unstable Periodic Orbits . . . . . . . . . . . . 203


11 SynchronizationofChaoticSystems 207

11.1 Identical Systems with Symmetric Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.1.1 On–Off Intermittency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.1.2 Strong vs. Weak Synchronization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.2 Master–Slave Configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
viii Contents
11.3 Generalized Synchronization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.3.1 Strange Nonchaotic Attractors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.4 Phase Synchronization of Chaotic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213


12 SpatiotemporalChaos 217

12.1 Models for Space–Time Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.1.1 Coupled Map Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.1.2 Coupled Oscillator Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.1.3 Complex Ginzburg–Landau Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
12.1.4 Kuramoto–Sivashinsky Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
12.2 Characterization of Space–Time Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.2.1 Liapunov Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.2.2 Co-moving Liapunov Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.2.3 Chronotopic Liapunov Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.3 Nonlinear Nonequilibrium Space–Time Dynamics . . . . . . . . . . . . . . 225
12.3.1 Fully Developed Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12.3.2 Spatiotemporal Intermittency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.3.3 Molecular Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Outlook 231

Appendix 233

A Derivation of the Lorenz Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
B Stability Analysis and the Onset of Convection and Turbulencein the Lorenz Model . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
C The Schwarzian Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
D Renormalization of the One-Dimensional Ising Model . . . . . . . . . . . . 238
E Decimation and Path Integrals for External Noise . . . . . . . . . . . . . . 240
F Shannon’s Measure of Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
F.1 Information Capacity of a Store . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
F.2 Information Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
G Period Doubling for the Conservative H′enon Map . . . . . . . . . . . . . . 245
H Unstable Periodic Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
RemarksandReferences 257

Index 283