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1 Functional data structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Examples of functional data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Detection of abnormal NOx pollution levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Prediction of the volume of credit card transactions . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Classification of temporal gene expression data . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Statistical packages, bases, and functional objects . . . . . . . . . . . . . 15 Part I Independent functional observations 2 Hilbert space model for functional data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 Operators in a Hilbert space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 The space L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Random elements in L2 and the covariance operator . . . . . . . . . . . 23 2.4 Estimation of mean and covariance functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Estimation of the eigenvalues and the eigenfunctions . . . . . . . . . . . 31 2.7 Proof of Theorem 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.8 Bibliographical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Functional principal components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1 A maximization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Optimal empirical orthonormal basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Functional principal components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Computation of functional principal components . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5 Bibliographical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4 Canonical correlation analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1 Multivariate canonical components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Functional canonical components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3 Sample functional canonical components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.4 Functional canonical correlation analysis of a magnetometer data 54 xi 2.6 Asymptotic normality of the eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 xii Contents 4.5 Square root of the covariance operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.6 Existence of the functional canonical components . . . . . . . . . . . . . 58 5 Two sample inference for the mean and covariance functions . . . . . . . 65 5.1 Equality of mean functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2 A simulation study and an application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3 Proofs of the theorems of Section 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4 Equality of covariance operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.5 Bibliographical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6 Detection of changes in the mean function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2 Notation and assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3 Detection procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.4 Finite sample performance and application to temperature data . . 88 6.5 An approximation theorem for functional observations and proofs of Theorems 6.1 and 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.6 Bibliographical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7 Portmanteau test of independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.1 Test procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.2 Finite sample performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.3 Application to credit card transactions and diurnal geomagnetic variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.4 Proofs of the results of Section 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.5 Auxiliary lemmas for H -valued random elements . . . . . . . . . . . . . 117 7.6 Limit theory for sample autocovariance matrices . . . . . . . . . . . . . . 118 Part II The functional linear model 8 Functional linear models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.2 Standard linear model and normal equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.3 The fully functional model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.4 The scalar response model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.5 The functional response model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 8.6 Evaluating the goodness–of–fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 8.7 Bibliographical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 9 Test for lack of effect in the functional linear model . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.1 Introduction and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.2 The test procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 9.3 A small simulation study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.4 Application to magnetometer data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.5 Asymptotic theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.6 Proofs of Theorems 9.1 and 9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Contents xiii 10 Two sample inference for regression kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.1 Motivation and introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.2 Derivation of the test for scalar responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 10.3 Derivation for functional responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 10.4 Summary of the testing procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 10.5 A small simulation study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 10.6 Application to medfly and magnetometer data . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 10.7 Asymptotic theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 11 Tests for error correlation in the functional linear model. . . . . . . . . . . 191 11.1 Motivation and background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 11.2 Least squares estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 11.3 Description of the test procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 11.4 A simulation study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 11.5 Application to space physics and high–frequency financial data . . 202 11.6 Asymptotic theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 11.7 Proof of Theorem 11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 12 A test of significance in functional quadratic regression . . . . . . . . . . . . 225 12.1 Testing procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 12.2 Application to spectral data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 12.3 Outline for the Proof of Theorem 12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 12.4 Outline for the Proof of Theorem 12.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Part III Dependent functional data 13 Functional autoregressive model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 13.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 13.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 13.3 Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 13.4 Predictive factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 13.5 The trace class and the polar and singular decompositions. . . . . . . 250 14 Change point detection in the functional autoregressive process . . . . 253 14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 14.2 Testing procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 14.3 Application to credit card transactions and Eurodollar futures. . . . 260 14.4 Asymptotic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 14.5 Proof of Proposition 14.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 14.6 Proof of Proposition 14.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 15 Determining the order of the functional autoregressive model . . . . . . 277 15.1 Representation of an FAR(p) process as a functional linear model 278 15.2 Order determination procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 15.3 Finite sample performance and application to financial data . . . . . 286 11.8 Bibliographical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 xiv Contents 16 Functional time series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 16.1 Approximable functional time series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 16.2 Convergence of sample eigenfunctions and a central limit theorem 296 16.3 The long–run variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 16.4 Estimation of the long–run covariance matrix under weak assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 16.5 Change point detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 16.6 Self–normalized statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 16.7 Functional linear model with dependent regressors . . . . . . . . . . . . . 317 16.8 Proofs of the results of Sections 16.2 and 16.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 319 16.9 Proof of Theorem 16.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 16.10 Proofs of Theorems 16.7 and 16.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 16.11 Proof of Theorem 16.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 17 Spatially distributed functional data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 17.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 17.2 Essentials of spatial statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 17.3 Estimation of the mean function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 17.4 Estimation of the principal components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 17.5 Finite sample performance of the estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 17.6 Testing for correlation of two spatial fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 17.7 Modeling and estimation of the covariance tensor. . . . . . . . . . . . . . 364 17.8 Size and power of the correlation test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 17.9 Application to critical ionospheric frequency and magnetic curves 368 18 Consistency of the simple mean and the empirical functional principal components for spatially distributed curves . . . . . . . . . . . . . 375 18.1 Motivating examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 18.2 Models and Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 18.3 Regular spatial designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 18.4 Consistency of the sample mean function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 18.5 Consistency of the empirical covariance operator . . . . . . . . . . . . . . 393 18.6 Inconsistent empirical functional principal components . . . . . . . . . 396 18.7 Proofs of the results of Sections 18.4, 18.5 and 18.6 . . . . . . . . . . . 399 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 |
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