Sparse Grid Quadrature in High Dimensions with Applications in Finance and Insurance

Contents
1 Introduction 1
2 Dimension-wise Decompositions 11
2.1 Classical ANOVA Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Effective Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Error Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Anchored-ANOVA Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Effective Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Error Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Dimension-wise Quadrature 23
3.1 Classical Multivariate Quadrature Methods . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 Quasi-Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Product Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Dimension-wise Quadrature Methods . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 Truncation and Discretization . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Error and Costs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.3 A priori Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.4 Dimension-adaptive Construction . . . . . . . . . . . 40
4 Sparse Grid Quadrature 43
4.1 Sparse Grid Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1 Classical Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.2 Delayed Basis Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.3 Generalised Sparse Grids . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.4 Dimension-adaptive Sparse Grids . . . . . . . . . . . 50
4.2 Optimal Sparse Grids in Weighted Spaces . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 Cost-Benefit Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.2 Cost Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.3 Error Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.4 ε-Cost Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Relation to Dimension-wise Quadrature . . . . . . . . . . . . . . 63
i
ii Contents
5 Dimension Reduction and Smoothing 67
5.1 Orthogonal Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.1 Random Walk, Brownian Bridge, PCA . . . . . . . . 68
5.1.2 Linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Domain Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.1 Root Finding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.2 Hyperplane Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.3 Conditional Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Validation and Industrial Applications 91
6.1 Interest Rates Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.1 Zero Coupon Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.2 Collateralized Mortgage Obligations . . . . . . . . . 99
6.2 Path-dependent Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.1 Asian options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.2 Barrier options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3 Performance-dependent Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3.1 Framework and Pricing Formulas . . . . . . . . . . . 114
6.3.2 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.4 Asset-Liability Management in Life Insurance . . . . . . . . . . . 123
6.4.1 Model and Integral Representation . . . . . . . . . . 124
6.4.2 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.5 Summary and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7 Conclusions 139
A Tractability of Integration 143
A.1 Reproducing Kernel Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.2 Notions of Discrepancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.3 Tractability Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
B Performance-dependent Options 159
B.1 Multidimensional Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . 159
B.2 Pricing Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
C Asset-Liability Management in Life Insurance 169
C.1 Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
C.2 Numerical Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Bibliography 191