REF：Bruce A. Forster，1973，OptimalCapital Accumulation in a Polluted Environment，Southern EconomicJournal, Vol. 39, No. 4 (Apr., 1973), pp. 544-547

污染约束下的最优资本积累

B. A. Forster

许文立简译

武汉大学经济与管理学院

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编者注：前面六篇文献解读，除了1975年那篇之外，其他五篇基本输入环境宏观经济学的理论框架篇。从这篇起进入环境经济增长理论系列，本系列推送的第一篇其实是一篇环境经济增长理论最早论文之一。据笔者所知，最早将环境约束融入增长理论中的是Keeler E. et al.（1971）《the optimal control of pollution》，但是笔者并没有找到可用的全文下载渠道，如有读者知道，希望与笔者共享，在此先谢过！本文也将环境约束引入增长理论中的最早文献之一。文章也很短，但是其对环境增长理论的贡献不容小觑！笔者觉得这篇文章就是环境增长理论建模的入门级“教材”，是一个最简化的包含环境的新古典增长模型。

1 引言

本文与其他文献一样，上来就把传统增长理论criticize了一番，例如没有考虑到经济增长的溢出效应呀，当然肯定是说的环境污染啦，老套路了！那么，自然这篇文章的新意就是考虑了环境污染约束。

2 模型

首先给出了增长模型

Fi是产出，且产出只跟资本存量有关（编者注：后面那个C和（2）我猜测是copyright输入参考文献2的，因此，与模型无关）。当然，肯定有规模报酬递减，一阶导大于0，二阶导小于0，满足稻田条件什么的等等假设。

然后，市场出清条件：总供给等于总需求

经济学含义：产出变成家庭收入之后，家庭将其在消费C、储蓄和污染治理E之间进行配置。且资本积累方程为

作者假设，资本投入除了产出之外，还有污染，因此，污染P与资本和污染治理支出有关

然后，这里肯定是资本越多，污染越多，即资本一阶导大于0，二阶导也大于0意味着资本的边际污染量递增。而治污支出的一阶导小于0，且支出越多，治理边际效果越好，即二阶导大于0。

下面就是家庭效用函数，即社会福利问题。家庭效应来自于消费和污染

且消费的边际效应大于0，污染的边际效用小于0。

下面就是最优化问题

最大化家庭的跨期贴现效用，在上述条件的约束下。通过拉格朗日公式可以求得这个环境增长模型的均衡条件为

公式（16）的经济含义是：在均衡中，消费的边际效用等于污染治理支出的边际效用等于资本的价格。或者污染治理支出的边际效用等于污染治理支出的边际成本，因为污染治理支出与消费和储蓄是替代关系，即机会成本。还可以说，在均衡中，产出最后一单位无论用在消费、投资或者治污上效用是一样的。那么，污染治理支出的最优水平就能从这个条件中解出来。

下面可以得到经济中消费和资本演化方程：

根据消费和资本演化方程就可以讨论消费和资本的动态变化特征（即增长理论中经常遇到的dynamics）。引入（CK）相位图（编者注，相位图就是看各变量的动态变化），首先讨论资本的动态特征，定义

熟悉高级宏观经济学的读者，可能对图1比较熟悉。由上面导数可知，在Kstar左边，N是递增的，在Kstar右边，N是递减的。而N又是随着C递减。Kbar-star=0是标准增长模型（无污染约束情况下）中的资本存量轨迹。对于任意K，投资为且与标准增长模型中的投资相同，但是有E>0，这就意味着，消费要下降。所以Kstar=0的轨迹在Kbar-star=0轨迹的下面。

接下来，我们来看看消费的动态特征，定义

Cstar=0是向右下方倾斜的轨迹。

和传统增长模型一样，公式（14）有唯一最优解。即最优解为（ ），那么，最优资本积累为

读者可以回忆一下传统增长模型中的资本扣除折旧后的边际产量等于贴现率，而本文中得到，这一最有资本积累不再等于贴现率，而是等于贴现率加上治污支出与资本的边际转换率这就意味着，资本存量的最优水平比传统增长模型中的黄金率水平要低，而消费也会低于传统新古典增长模型中的黄金率消费水平。

作者在文章最后提到，本文是及其简单的环境增长模型，且未考虑到污染对家庭造成的成本，健康成本以及生产率损害等（这些问题前面文献解读已经反复提到，目前都是环境一般均衡模型中的核心设置）。