<p>Introduction to String Theory</p><p>Contents<br/>I Introductory Overview 1<br/>1 Motivation 3<br/>1.1 Standard Model and beyond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br/>1.1.1 Our Model of Elementary Particles and Interactions . . 3<br/>1.1.2 Theoretical questions raised by this description . . . . 5<br/>1.1.3 Some proposals for physics beyond the Standard Model 7<br/>1.1.4 String theory as a theory beyond the Standard Model . 13<br/>2 Overview of string theory in perturbation theory 15<br/>2.1 Basic ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br/>2.1.1 What are strings? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br/>2.1.2 The worldsheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br/>2.1.3 String interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br/>2.1.4 Critical dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br/>2.1.5 Overview of closed bosonic string theory . . . . . . . . 24<br/>2.1.6 String theory in curved spaces . . . . . . . . . . . . . . 26<br/>2.1.7 Compacti cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br/>2.2 Superstrings and Heterotic string phenomenology . . . . . . . 34<br/>2.2.1 Superstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br/>2.2.2 Heterotic string phenomenology . . . . . . . . . . . . . 39<br/>2.2.3 The picture of our world as a heterotic string compacti<br/>cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br/>2.2.4 Phenomenological features and comparison with other<br/>proposals beyond the standard model . . . . . . . . . . 42<br/>3 Overview of string theory beyond perturbation theory 45<br/>3.1 The problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br/>3.2 Non-perturbative states in string theory . . . . . . . . . . . . 47<br/>i<br/>ii CONTENTS<br/>3.2.1 Non-perturbative states in eld theory . . . . . . . . . 47<br/>3.2.2 Non-perturbative p-brane states in string theory . . . . 52<br/>3.2.3 Duality in string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br/>3.3 D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br/>3.3.1 What are D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br/>3.3.2 Worldvolume theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br/>3.3.3 D-branes in string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br/>3.3.4 D-branes as probes of spacetime . . . . . . . . . . . . . 69<br/>3.3.5 D-branes and gauge eld theories . . . . . . . . . . . . 71<br/>3.4 Our world as a brane-world model . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br/>4 Quantization of the closed bosonic string 77<br/>4.1 Worldsheet action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br/>4.1.1 The Nambu-Goto action . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br/>4.1.2 The Polyakov action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br/>4.1.3 Symmetries of Polyakov action . . . . . . . . . . . . . . 79<br/>4.2 Light-cone quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br/>4.2.1 Light-cone gauge xing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br/>4.2.2 Gauge- xed Polyakov action, Hamiltonian . . . . . . . 83<br/>4.2.3 Oscillator expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br/>4.2.4 Light spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br/>4.2.5 Lessons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br/>4.2.6 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br/>5 Modular invariance 91<br/>5.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br/>5.2 Worldsheet coordinatization in light-cone gauge . . . . . . . . 92<br/>5.3 The computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br/>5.3.1 Structure of the amplitude in operator formalism . . . 93<br/>5.3.2 The momentum piece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95<br/>5.3.3 The oscillator piece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95<br/>5.4 Modular invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br/>5.4.1 Modular group of T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br/>5.4.2 Modular invariance of the partition function . . . . . . 99<br/>5.4.3 UV behaviour of the string amplitude . . . . . . . . . . 100<br/>CONTENTS iii<br/>6 Toroidal compacti cation of closed bosonic string theory 105<br/>6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br/>6.2 Toroidal compacti cation in eld theory . . . . . . . . . . . . 106<br/>6.3 Toroidal compacti cation in string theory . . . . . . . . . . . 110<br/>6.3.1 Quantization and spectrum . . . . . . . . . . . . . . . 111<br/>6.3.2 0 e ects I: Enhanced gauge symmetries . . . . . . . . 117<br/>6.3.3 0 e ects II: T-duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br/>6.3.4 Additional comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123<br/>7 Type II Superstrings 125<br/>7.1 Superstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br/>7.1.1 Fermions on the worldsheet . . . . . . . . . . . . . . . 125<br/>7.1.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br/>7.1.3 Spectrum of states for NS and R fermions . . . . . . . 128<br/>7.1.4 Modular invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br/>7.1.5 Type II superstring partition function . . . . . . . . . . 135<br/>7.1.6 GSO projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135<br/>7.1.7 Light spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136<br/>7.2 Type 0 superstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140<br/>7.3 Bosonization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141<br/>8 Heterotic superstrings 145<br/>8.1 Heterotic superstrings in bosonic formulation . . . . . . . . . . 145<br/>8.1.1 Heteroticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br/>8.1.2 Hamiltonian quantization . . . . . . . . . . . . . . . . 146<br/>8.1.3 Modular invariance and lattices . . . . . . . . . . . . . 148<br/>8.1.4 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br/>8.2 Heterotic strings in the fermionic formulation . . . . . . . . . 154<br/>8.3 Spacetime Non-susy heterotic string theories . . . . . . . . . . 158<br/>8.4 A few words on anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159<br/>8.4.1 What is an anomaly? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159<br/>8.4.2 Anomalies in string theory and Green-Schwarz mechanism<br/>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<br/>9 Open strings 165<br/>9.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165<br/>9.2 Open bosonic string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167<br/>9.2.1 Light-cone gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167<br/>iv CONTENTS<br/>9.2.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168<br/>9.2.3 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169<br/>9.2.4 Oscillator expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170<br/>9.2.5 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171<br/>9.2.6 Open-closed duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172<br/>9.3 Chan-Paton factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175<br/>9.4 Open superstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177<br/>9.4.1 Hamiltonian quantization . . . . . . . . . . . . . . . . 177<br/>9.4.2 Spectrum for NS and R sectors . . . . . . . . . . . . . 179<br/>9.4.3 GSO projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180<br/>9.4.4 Open-closed duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180<br/>9.4.5 RR tadpole cancellation condition . . . . . . . . . . . . 181<br/>10 Type I superstring 185<br/>10.1 Unoriented closed strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185<br/>10.1.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185<br/>10.1.2 Unoriented closed bosonic string . . . . . . . . . . . . . 187<br/>10.1.3 Unoriented closed superstring theory IIB/<br/>&nbsp;. . . . . . 188<br/>10.2 Unoriented open strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191<br/>10.2.1 Action of <br/>&nbsp;on open string sectors . . . . . . . . . . . . 191<br/>10.2.2 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192<br/>10.3 Type I superstring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193<br/>10.3.1 Computation of RR tadpoles . . . . . . . . . . . . . . . 193<br/>10.4 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200<br/>11 Toroidal compacti cation of superstrings 203<br/>11.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203<br/>11.2 Type II superstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203<br/>11.2.1 Circle compacti cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203<br/>11.2.2 T-duality for type II theories . . . . . . . . . . . . . . . 208<br/>11.2.3 Compacti cation of several dimensions . . . . . . . . . 210<br/>11.3 Heterotic superstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215<br/>11.3.1 Circle compacti cation without Wilson lines . . . . . . 215<br/>11.3.2 Compacti cation with Wilson lines . . . . . . . . . . . 218<br/>11.3.3 Field theory description of Wilson lines . . . . . . . . . 218<br/>11.3.4 String theory description . . . . . . . . . . . . . . . . . 221<br/>11.4 Toroidal compacti cation of type I superstring . . . . . . . . . 226<br/>11.4.1 Circle compacti cation without Wilson lines . . . . . . 227<br/>CONTENTS v<br/>11.4.2 T-duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229<br/>11.4.3 Toroidal compacti cation and T-duality in type I with<br/>Wilson lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234<br/>11.5 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238<br/>12 Calabi-Yau compacti cation of superstrings. Heterotic string<br/>phenomenology 239<br/>12.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239<br/>12.1.1 Supersymmetry and holonomy . . . . . . . . . . . . . . 240<br/>12.1.2 Calabi-Yau manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242<br/>12.2 Type II string theories on Calabi-Yau spaces . . . . . . . . . . 246<br/>12.2.1 Supersymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246<br/>12.2.2 KK reduction of p-forms . . . . . . . . . . . . . . . . . 247<br/>12.2.3 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248<br/>12.2.4 Mirror symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249<br/>12.3 Compacti cation of heterotic strings on Calabi-Yau threefolds 250<br/>12.3.1 General considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250<br/>12.3.2 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253<br/>12.3.3 Phenomenological features of these models . . . . . . . 257<br/>13 Orbifold compacti cation 261<br/>13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261<br/>13.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261<br/>13.1.2 The geometry of orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . 262<br/>13.1.3 Generalities of string theory on orbifolds . . . . . . . . 265<br/>13.2 Type II string theory on T6=Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 268<br/>13.2.1 Geometric interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . 274<br/>13.3 Heterotic string compacti cation on T6=Z3 . . . . . . . . . . . 275<br/>13.3.1 Gauge bundles for orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . 275<br/>13.3.2 Computation of the spectrum . . . . . . . . . . . . . . 276<br/>13.3.3 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279<br/>14 Non-perturbative states in string theory 281<br/>14.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281<br/>14.2 p-branes in string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281<br/>14.2.1 p-brane solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283<br/>14.2.2 Dirac charge quantization condition . . . . . . . . . . . 287<br/>14.2.3 BPS property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288<br/>vi CONTENTS<br/>14.3 Duality for type II string theories . . . . . . . . . . . . . . . . 289<br/>14.3.1 Type IIB SL(2; Z) duality . . . . . . . . . . . . . . . . 290<br/>14.3.2 Toroidal compacti cation and U-duality . . . . . . . . 291<br/>14.4 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294<br/>.1 Some similar question in the simpler context of eld theory . . 295<br/>.1.1 States in eld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295<br/>.1.2 BPS bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298<br/>.1.3 Montonen-Olive duality . . . . . . . . . . . . . . . . . 299<br/>.2 The Kaluza-Klein monopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300<br/>A D-branes 303<br/>A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303<br/>A.2 General properties of D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303<br/>A.3 World-volume spectra for type II D-branes . . . . . . . . . . . 307<br/>A.3.1 A single Dp-brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307<br/>A.3.2 E ective action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309<br/>A.3.3 Stack of coincident Dp-branes . . . . . . . . . . . . . . 311<br/>A.3.4 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314<br/>A.4 D-branes in type I theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316<br/>A.4.1 Type I in terms of D-branes . . . . . . . . . . . . . . . 316<br/>A.4.2 Type I D5-brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316<br/>A.4.3 Type I D1-brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320<br/>A.5 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322<br/>B String theories at strong coupling and string duality 323<br/>B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323<br/>B.2 The type IIB SL(2; Z) self-duality . . . . . . . . . . . . . . . . 324<br/>B.2.1 Type IIB S-duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325<br/>B.2.2 Additional support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325<br/>B.2.3 SL(2; Z) duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326<br/>B.3 Type IIA and M-theory on S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327<br/>B.3.1 Strong coupling proposal . . . . . . . . . . . . . . . . . 327<br/>B.3.2 Further comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329<br/>B.4 M-theory on T2 vs type IIB on S1 . . . . . . . . . . . . . . . 330<br/>B.5 Type I / SO(32) heterotic duality . . . . . . . . . . . . . . . . 331<br/>B.5.1 Strong coupling of Type I theory . . . . . . . . . . . . 332<br/>B.5.2 Further comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332<br/>B.5.3 Additional support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332<br/>CONTENTS vii<br/>B.6 M-theory on S1=Z2 / E8  E8 heterotic . . . . . . . . . . . . . 333<br/>B.6.1 Horava-Witten theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334<br/>B.6.2 Additional support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336<br/>B.7 SO(32) het/typeI on S1 vs M-theory on S1  (S1=Z2) . . . . 337<br/>B.8 Final remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339<br/>C Non-perturbative e ects in (weakly coupled) string theory 341<br/>C.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341<br/>C.2 Enhanced gauge symmetries in type IIA theory on K3 . . . . . 341<br/>C.2.1 K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341<br/>C.2.2 Type IIA on K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343<br/>C.2.3 Heterotic on T4 / Type IIA on K3 duality . . . . . . . 344<br/>C.2.4 Enhanced non-abelian gauge symmetry . . . . . . . . . 345<br/>C.2.5 Further comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348<br/>C.3 Type IIB on CY3 and conifold singularities . . . . . . . . . . . 350<br/>C.3.1 Breakdown of the perturbative theory at points in moduli<br/>space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350<br/>C.3.2 The conifold singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . 351<br/>C.3.3 Topology change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352<br/>C.4 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356<br/>D D-branes and gauge eld theories 359<br/>D.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359<br/>D.2 D3-branes and 4d N = 1 U(N) super Yang-Mills . . . . . . . 360<br/>D.2.1 The con guration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360<br/>D.2.2 The dictionary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361<br/>D.2.3 Montonen-Olive duality . . . . . . . . . . . . . . . . . 365<br/>D.2.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366<br/>D.3 The Maldacena correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . 366<br/>D.3.1 Maldacena's argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366<br/>D.3.2 Some preliminary tests of the proposal . . . . . . . . . 370<br/>D.3.3 AdS/CFT and holography . . . . . . . . . . . . . . . . 374<br/>D.3.4 Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377<br/>.1 Large N limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378<br/>A Brane-worlds 381<br/>A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381<br/>A.2 Model building: Non-perturbative heterotic vacua . . . . . . . 384<br/>viii CONTENTS<br/>A.3 Model building: D-brane-worlds . . . . . . . . . . . . . . . . . 387<br/>A.3.1 D-branes at singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . 389<br/>A.3.2 Intersecting D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393<br/>A.4 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400<br/>B Non-BPS D-branes in string theory 403<br/>B.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403<br/>B.2 Brane-antibrane pairs and tachyon condensation . . . . . . . . 403<br/>B.2.1 Anti-D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403<br/>B.2.2 Dp-Dp-brane pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404<br/>B.2.3 Tachyon condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407<br/>B.3 D-branes from brane-antibrane pairs . . . . . . . . . . . . . . 408<br/>B.3.1 Branes within branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409<br/>B.3.2 D-branes from brane-antibrane pairs . . . . . . . . . . 409<br/>B.4 D-branes and K-theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412<br/>B.5 Type I non-BPS D-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415<br/>B.5.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416<br/>B.5.2 Heterotic/type I duality beyond supersymmetry . . . . 418<br/>B.6 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419<br/>A Modular functions 421<br/>B Rudiments of group theory 425<br/>B.1 Groups and representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425<br/>B.1.1 Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425<br/>B.1.2 Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425<br/>B.1.3 Reducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426<br/>B.1.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427<br/>B.1.5 Operations with representations . . . . . . . . . . . . . 427<br/>B.2 Lie groups and Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428<br/>B.2.1 Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428<br/>B.2.2 Lie algebra A(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428<br/>B.2.3 Exponential map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430<br/>B.2.4 Commutation relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431<br/>B.2.5 Some useful representations . . . . . . . . . . . . . . . 433<br/>B.3 SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433<br/>B.3.1 Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433<br/>B.3.2 Weights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434<br/>CONTENTS ix<br/>B.4 Roots and weights for general Lie algebras . . . . . . . . . . . 436<br/>B.4.1 Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436<br/>B.4.2 Weights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437<br/>B.4.3 SU(3) and some pictures . . . . . . . . . . . . . . . . . 439<br/>B.5 Dynkin diagrams and classi cation of simple groups . . . . . . 441<br/>B.5.1 Simple roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442<br/>B.5.2 Cartan classi cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443<br/>B.6 Some examples of useful roots and weights . . . . . . . . . . . 444<br/>B.6.1 Comments on SU(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445<br/>B.6.2 Comments on SO(2r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447<br/>B.6.3 Comments on SO(2r + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 451<br/>B.6.4 Comments on USp(2n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451<br/>B.6.5 Comments on exceptional groups . . . . . . . . . . . . 452<br/>C Appendix: Rudiments of Supersymmetry 453<br/>C.1 Preliminaries: Spinors in 4d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453<br/>C.2 4d N = 1 Supersymmetry algebra and representations . . . . . 456<br/>C.2.1 The supersymmetry algebra . . . . . . . . . . . . . . . 456<br/>C.2.2 Structure of supermultiplets . . . . . . . . . . . . . . . 457<br/>C.3 Component elds, chiral multiplet . . . . . . . . . . . . . . . . 459<br/>C.4 Super elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460<br/>C.4.1 Super elds and supersymmetry transformations . . . . 460<br/>C.4.2 The chiral super eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462<br/>C.4.3 The vector super eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466<br/>C.4.4 Coupling of vector and chiral multiplets . . . . . . . . 468<br/>C.4.5 Moduli space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470<br/>C.5 Extended 4d supersymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472<br/>C.5.1 Extended superalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 472<br/>C.5.2 Supermultiplet structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 473<br/>C.5.3 Some useful information on extended supersymmetric<br/>eld theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475<br/>C.6 Supersymmetry in several dimensions . . . . . . . . . . . . . . 477<br/>C.6.1 Some generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477<br/>C.6.2 Some useful superalgebras and supermultiplets in higher<br/>dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479<br/>x CONTENTS<br/>D Rudiments of di erential geometry/topology 483<br/>D.1 Di erential manifolds; Homology and cohomology . . . . . . . 483<br/>D.1.1 Di erential manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483<br/>D.1.2 Tangent and cotangent space . . . . . . . . . . . . . . 484<br/>D.1.3 Di erential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486<br/>D.1.4 Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487<br/>D.1.5 Homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489<br/>D.1.6 de Rahm duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492<br/>D.1.7 Hodge structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494<br/>D.2 Fiber bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497<br/>D.2.1 Fiber bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497<br/>D.2.2 Principal bundles, associated bundles . . . . . . . . . . 499<br/>D.3 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500<br/>D.3.1 Holonomy of a connection . . . . . . . . . . . . . . . . 502<br/>D.3.2 Characteristic classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503</p><p>&nbsp;</p><p>&nbsp;</p><p></p><p><br/></p>