R语言中的outer()函数，名为内积函数，但是他执行的功能并不是解析几何中的内积。那该函数到底发挥什么功能呢？
我们将分三个部分来探究该函数，其一是outer()函数的传入参数，其二是outer()函数的运算步骤，其三是拓展举例。
1.outer()函数的传入参数
函数格式：outer(x,y,paste或"operator")
1）x和y
x和y可以是向量(vextor)、矩阵(matrix)、数组(array)、数据框(frame)、列表(list)
注：a.此处向量均指列向量
b.常用类型为数值型、字符型、逻辑型。
c.相同类型的向量：v1<-c(1,2,3),v2<-c(4,5,6)，则v1和v2为相同类型的向量。而v1<-c(1,2,3),v2<-c("A","B","C")，则v1和v2为不同类型的向量。
那么就存在数据结构：
相同类型的向量->矩阵 不同类型的向量->数据框
相同类型的矩阵->数组 不同类型的向量、矩阵、数据框、列表或者其中任意两个及以上的组合->列表

2）paste或"operator"
(1)paste表示打印计算结果中元素的组成结构，如：
> outer(1:2,3:5,paste)
[,1][,2][,3]
[1,] "1 3" "1 4" "1 5"
[2,] "2 3" "2 4" "2 5"
我们先不考虑outer()函数是如何运算的。

(2)"operator"可以是运算符，包括"+"、"-"、"*"、"/"、"^"等等，需要用双引号引起来，如：
> outer(1:2,3:5,"*")
也即使用paste打印出来的组成元素两两相乘：
[,1][,2][,3]
[1,] "1*3" "1*4" "1*5"
[2,] "2*3" "2*4" "2*5"
那么：
> d<-outer(1:2,3:5,"*")
> d
[,1] [,2] [,3]
[1,] 3 4 5
[2,] 6 8 10

2.outer()函数的运算步骤
outer()函数源码中有一句代码为：as.vector(X) %*% t(as.vector(Y))
就是说现将传入参数X和Y先转换成向量，其中Y转换成向量后还要对其进行转置。
注：a.此处向量均指列向量
b.矩阵转换成向量时，先按行遍历矩阵的第一列，然后按行遍历矩阵的第二列，以此类推直到遍历完矩阵的所有元素。(从上到下，从左到右)
如矩阵d：
[,1] [,2] [,3]
[1,] 3 4 5
[2,] 6 8 10
转换成向量为：(3,6,4,8,5,10)T(符号"T"表示转置)
那么outer(1:2,3:5,"*")就在执行：
第一步：生成x和y向量(x和y矩阵画的有点丑，还请多多海涵，谢谢！)
_ _ _ _
x=| 1 | y= | 3 |
|_ 2 _| | 4 |
|_ 5 _|

第二步：将y转换成向量，y本身就是向量，因而转换后形式不变。
第三步：将y转置，此时
_ _
x=| 1 | yT=[3,4,5]
|_ 2 _|

第四步：执行x %*% yT 运算(%*%运算与矩阵的乘法运算存在差异，一定不能搞混淆了)
先将x看成一个常数k，用k分别乘以yT中的每个元素，则得到向量[k*3,k*4,k*5]
将k打开，得到矩阵结构：
_ _
|1*31*41*5 |
|_ 2*32*42*5 _|

分别计算矩阵中每一个元素的乘积，得到：
_ _
|34 5 |
|_ 6810 _|

3.拓展举例
我们在R软件的控制台中执行如下代码。
> d<-outer(1:2,3:5,"*")
> d
[,1] [,2] [,3]
[1,] 3 4 5
[2,] 6 8 10
将得到d矩阵，那么在R软件的控制台中继续执行
> dd<-outer(d,d,"*")
> dd
将得到什么呢？
此时：
_ _
d=|345 |
|_ 68 10 _|

还是按上述步骤执行
第一步：输入两个d向量，则两个d向量分别为：
_ _ _ _
d=|345 | d=|345 | 第一个矩阵记为d1，第二个矩阵记为d2
|_ 68 10 _| |_ 68 10 _|

第二和第三步：将第二个矩阵d转换成向量，并将其转置，得到
_ _
d=|345 | d'=[3,6,4,8,5,10]
|_ 68 10 _| 位于原矩阵d的1行1列，

其中d'=[3,6,4,8,5,10]，第一个元素3位于原矩阵(d2)的1行1列，记为(1,1)；第而个元素6位于原矩阵的2行1列，记为(2,1)；以此类推。

第四步：执行x %*% yT 运算
先将d1看成一个常数k，用k分别乘以第二个向量d'中的每个元素得到[k*3,k*6,k*4,k*8,k*5,k*10]
将k打开，得到矩阵结构：
_ _
|_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ |
| |345 |*3, |345 |*6,|345 |*4,|345 |*8,|345 |*5,|345 |*10|
| |_ 68 10 _| |_ 68 10 _| |_ 68 10 _| |_ 68 10 _| |_ 68 10 _| |_ 68 10 _| |
|_ _|
3在d2的1行1列 6在d2的2行1列 4在d2的1行2列 8在d2的2行2列 5在d2的1行3列 10在d2的2行3列
记为(1,1) 记为(2,1) 记为(1,2) 记为(2,2) 记为(1,3) 记为(2,3)

然后将各元素乘进去得到：
_ _
|_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ |
| | 3*34*35*3|,| 3*64*65*6|,| 3*44*45*4|,| 3*84*85*8 |,| 3*54*5 5*5|,| 3*104*105*10||
| |_6*3 8*3 10*3_| |_6*6 8*6 10*6_| |_6*4 8*4 10*4_| |_6*8 8*8 10*8_| |_ 6*5 8*5 10*5_| |_6*10 8*10 10*10_| |
|_ _|

由于第一个矩阵d为二维矩阵，且运算时将其看成一个常数，因而其维数被R语言省略掉了，控制台并没有显示其维数，只用",,"来表示。R控制台中执行：
> outer(d,d,paste)
, , 1, 1对应第四步中的矩阵下标(1,1)

[,1][,2][,3]
[1,] "3 3" "4 3" "5 3"
[2,] "6 3" "8 3" "10 3"

, , 2, 1对应第四步中的矩阵下标(2,1)

[,1][,2][,3]
[1,] "3 6" "4 6" "5 6"
[2,] "6 6" "8 6" "10 6"

, , 1, 2对应第四步中的矩阵下标(1,2)

[,1][,2][,3]
[1,] "3 4" "4 4" "5 4"
[2,] "6 4" "8 4" "10 4"

, , 2, 2对应第四步中的矩阵下标(2,2)

[,1][,2][,3]
[1,] "3 8" "4 8" "5 8"
[2,] "6 8" "8 8" "10 8"

, , 1, 3对应第四步中的矩阵下标(1,3)

[,1][,2][,3]
[1,] "3 5" "4 5" "5 5"
[2,] "6 5" "8 5" "10 5"

, , 2, 3对应第四步中的矩阵下标(2,3)

[,1] [,2] [,3]
[1,] "3 10" "4 10" "5 10"
[2,] "6 10" "8 10" "10 10"

因而R控制台中执行
> dd<-outer(d,d,"*")
> dd
, , 1, 1对应第四步中的矩阵下标(1,1)

[,1] [,2] [,3]
[1,] 9 12 15
[2,] 18 24 30

, , 2, 1对应第四步中的矩阵下标(2,1)

[,1] [,2] [,3]
[1,] 18 24 30
[2,] 36 48 60

, , 1, 2对应第四步中的矩阵下标(1,2)

[,1] [,2] [,3]
[1,] 12 16 20
[2,] 24 32 40

, , 2, 2对应第四步中的矩阵下标(2,2)

[,1] [,2] [,3]
[1,] 24 32 40
[2,] 48 64 80

, , 1, 3对应第四步中的矩阵下标(1,3)

[,1] [,2] [,3]
[1,] 15 20 25
[2,] 30 40 50

, , 2, 3对应第四步中的矩阵下标(2,3)

[,1] [,2] [,3]
[1,] 30 40 50
[2,] 60 80100