梅加强著<br>
目 录
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前言
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第一章 微分流形 1
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1.1 流形的定义和例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
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1.2 子流形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
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1.3 单位分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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1.4 切空间和切映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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1.5 Sard 定理及应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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1.6 Lie 群初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
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第二章 流形上的微积分 53
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2.1 切丛和切向量场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
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2.2 可积性定理及应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
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2.3 向量丛和纤维丛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
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2.4 张量丛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
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2.5 微分形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
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2.6 带边流形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
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2.7 Stokes 积分公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
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第三章 流形的几何 123
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3.1 度量回顾 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
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3.2 联络 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
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3.3 曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
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3.4 联络和曲率的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
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3.4.1 活动标架法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
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3.4.2 正规坐标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
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3.5 子流形几何 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
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3.5.1 第二基本形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
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3.5.2 活动标架法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
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3.5.3 极小子流形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
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3.5.4 黎曼淹没 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
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3.6 齐性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
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3.6.1 Lie 群和不变度量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180<br>
3.6.2 齐性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
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3.6.3 对称空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
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3.7 Gauss-Bonnet 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
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3.8 Chern-Weil 理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
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第四章 流形与上同调 197
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4.1 Poincare 引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
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4.2 同伦不变性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
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4.3 Hodge 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
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4.4 进一步的例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
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4.5 示性类和指标公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
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4.6 层的上同调 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
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第五章 流形上的椭圆算子 199
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5.1 Sobolev 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
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5.2 Laplace 算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
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5.3 Hodge 定理的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
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5.4 向量丛上的椭圆算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
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5.5 Dirac 算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
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5.6 Atiyah-Singer 指标公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
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附录 201
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附录 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
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附录 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
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附录 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
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参考文献 203