Contents
1 Introduction 1
1.1 Random Variables and Conditional Expectation . . . . . . . . 3
1.2 Stochastic Processes and Stopping Times . . . . . . . . . . . 5
1.3 Trading, Options, Interest rates . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Low Discrepancy Sequences and Lattice Models . . . . . . . . 8
2 Random Variables and Expectation 11
2.1 Monte Carlo expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Monte Carlo Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Empirical Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Random Vectors and Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Monte Carlo estimation of the covariance . . . . . . . . . . . 26
2.7 C++ implementation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 Control Variates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.8.1 C++ Implementation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Stochastic Processes 37
3.1 Processes and Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Path functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 C++ Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Stopping times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Random Walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6 Optimal Stopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 Compound Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.8 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9 Vector Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.10 Vector Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
v
vi CONTENTS
3.11 Asset price processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Markets 75
4.1 Single Asset Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Basic Black-Scholes Asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Markov Chain Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Pricing European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5 European Calls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.6 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6.1 Price and optimal exercise in discrete time. . . . . . . 101
4.6.2 Duality, upper and lower bounds. . . . . . . . . . . . . 105
4.6.3 Constructing exercise strategies . . . . . . . . . . . . . 108
4.6.4 Recursive exercise policy optimization . . . . . . . . . 113
5 Trading And Hedging 117
5.1 The Gains From Trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 Hedging European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.1 Delta hedging and analytic deltas . . . . . . . . . . . . 128
5.2.2 Minimum Variance Deltas . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.3 Monte Carlo Deltas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2.4 Quotient Deltas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3 Analytic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.1 Analytic minimum variance deltas . . . . . . . . . . . 141
5.3.2 Analytic quotient deltas . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3.3 Formulas for European calls. . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4 Hedge Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.5 Hedging the Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5.1 Mean and standard deviation of hedging the call . . . 147
5.5.2 Call hedge statistics as a function of the strike price. . 148
5.5.3 Call hedge statistics as a function of the volatility
hedged against. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.6 Baskets of Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.6.1 Discretization of the time step . . . . . . . . . . . . . 154
5.6.2 Trading and Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6 The Libor Market Model 161
6.1 Forward Libors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.2 Arbitrage free zero coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.3 Dynamics of the forward Libor process . . . . . . . . . . . . . 164
6.4 Libors with prescribed factor loadings . . . . . . . . . . . . . 167
CONTENTS vii
6.5 Choice of the factor loadings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.6 Discretization of the Libor dynamics . . . . . . . . . . . . . . 172
6.6.1 Predictor-Corrector algorithm. . . . . . . . . . . . . . 173
6.7 Caplet prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.8 Swap rates and swaption prices . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.9 Libor simulation without drift term . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.9.1 Factor loadings of the Libors . . . . . . . . . . . . . . 180
6.9.2 Caplet prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.9.3 Swaption prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.9.4 Bond options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.10 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.11 Zero coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.12 Model Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.12.1 Volatility surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.12.2 Correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.12.3 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.13 Monte Carlo in the Libor market model . . . . . . . . . . . . 194
6.14 Control variates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.14.1 Control variates for general Libor derivatives . . . . . 195
6.14.2 Control variates for special Libor derivatives . . . . . 197
6.15 Bermudan swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7 The Quasi Monte Carlo Method 203
7.1 Expectations with low discrepancy sequences . . . . . . . . . 203
8 Lattice methods 213
8.1 Lattices for a single variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.1.1 Lattice for two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.1.2 Lattice for n variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9 Utility Maximization 227
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.1.1 Utility of Money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.1.2 Utility and Trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.2 Maximization of Terminal Utility . . . . . . . . . . . . . . . . 231
A Matrices 235
A.1 Matrix pseudo square roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
A.2 Matrix exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
viii CONTENTS
B Multinormal Random Vectors 241
B.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
B.2 Conditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
B.3 Factor analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
B.3.1 Integration with respect to PY . . . . . . . . . . . . . 246
C Martingale Pricing 247
C.1 Numeraire measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
C.2 Change of numeraire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
C.3 Exponential integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
C.4 Option to exchange assests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
C.5 Ito’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
D Optional Sampling Theorem 261
D.1 Optional Sampling Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
E Notes on the C++ code 263
E.1 Templates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
E.2 The C++ classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269