<p></p><p><br/>Stochastic Differential Equations </p><p>推荐一本好书，此书也许很多人用过，Oksendal 的书比较简单易懂，对于金融数学 金融工程的 研究生是一本很好的参考书，</p><p>我看见已有本书的第六版上传，上传此书的 原因两点，一是此书是pdf版，可以便于搜索关键词，阅读比较舒服；</p><p>其二，第六版与第五版区别 主要在答案多一些；内容上几乎一样</p><p> </p><p>An Introduction with Applications<br/>Fifth Edition, Corrected Printing<br/>Springer-Verlag Heidelberg New York</p><p>Table of Contents</p><p>1. Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1<br/>1.1 Stochastic Analogs of Classical Di®erential Equations . . . . . . . 1<br/>1.2 Filtering Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br/>1.3 Stochastic Approach to Deterministic Boundary Value Prob-<br/>lems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br/>1.4 Optimal Stopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br/>1.5 Stochastic Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br/>1.6 Mathematical Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br/>2. Some Mathematical Preliminaries : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7<br/>2.1 Probability Spaces, Random Variables and Stochastic Processes 7<br/>2.2 An Important Example: Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br/>Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br/>3. It^o Integrals : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21<br/>3.1 Construction of the It^o Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br/>3.2 Some properties of the It^o integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br/>3.3 Extensions of the It^o integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br/>Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br/>4. The It^o Formula and the Martingale Representation Theo-<br/>rem: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43<br/>4.1 The 1-dimensional It^o formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br/>4.2 The Multi-dimensional It^o Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br/>4.3 The Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br/>Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br/>5. Stochastic Di®erential Equations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61<br/>5.1 Examples and Some Solution Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br/>5.2 An Existence and Uniqueness Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br/>5.3 Weak and Strong Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br/>Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72</p><p>6. The Filtering Problem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81<br/>6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br/>6.2 The 1-Dimensional Linear Filtering Problem . . . . . . . . . . . . . . . 83<br/>6.3 The Multidimensional Linear Filtering Problem . . . . . . . . . . . . 102<br/>Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br/>7. Di®usions: Basic Properties : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109<br/>7.1 The Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br/>7.2 The Strong Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br/>7.3 The Generator of an It^o Di®usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br/>7.4 The Dynkin Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br/>7.5 The Characteristic Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br/>Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124<br/>8. Other Topics in Di®usion Theory : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133<br/>8.1 Kolmogorov's Backward Equation. The Resolvent . . . . . . . . . . 133<br/>8.2 The Feynman-Kac Formula. Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137<br/>8.3 The Martingale Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140<br/>8.4 When is an It^o Process a Di®usion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142<br/>8.5 Random Time Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br/>8.6 The Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153<br/>Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160<br/>9. Applications to Boundary Value Problems : : : : : : : : : : : : : : : : 167<br/>9.1 The Combined Dirichlet-Poisson Problem. Uniqueness . . . . . . . 167<br/>9.2 The Dirichlet Problem. Regular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169<br/>9.3 The Poisson Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181<br/>Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188<br/>10. Application to Optimal Stopping : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 195<br/>10.1 The Time-Homogeneous Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195<br/>10.2 The Time-Inhomogeneous Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207<br/>10.3 Optimal Stopping Problems Involving an Integral . . . . . . . . . . . 212<br/>10.4 Connection with Variational Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214<br/>Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218<br/>11. Application to Stochastic Control : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 225<br/>11.1 Statement of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225<br/>11.2 The Hamilton-Jacobi-Bellman Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227<br/>11.3 Stochastic control problems with terminal conditions . . . . . . . . 241<br/>Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243</p><p>12. Application to Mathematical Finance : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 249<br/>12.1 Market, portfolio and arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249<br/>12.2 Attainability and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259<br/>12.3 Option Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267<br/>Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288<br/>Appendix A: Normal Random Variables : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 295<br/>Appendix B: Conditional Expectation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 299<br/>Appendix C: Uniform Integrability and Martingale Conver-<br/>gence : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 301<br/>Appendix D: An Approximation Result: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 305<br/>Solutions and Additional Hints to Some of the Exercises : : : : : : 309<br/>References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 317<br/>List of Frequently Used Notation and Symbols : : : : : : : : : : : : : : : 325<br/>Index : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 329</p>