<p>Concentration Risk in Credit Portfolios<br/>With 17 Figures and 19 Tables</p><p>Contents<br/>Part I Introduction to Credit Risk Modeling<br/>1 RiskMeasurement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br/>1.1 Variables of Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br/>1.2 The General Model Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br/>1.3 Exchangeable Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br/>2 Modeling Credit Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br/>2.1 The Regulatory Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br/>2.2 Expected and Unexpected Loss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br/>2.3 Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br/>2.4 Expected Shortfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br/>2.5 Economic Capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br/>3 The Merton Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br/>3.1 The General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br/>3.2 The Multi-Factor Merton Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br/>3.3 Industry Models Based on the Merton Approach . . . . . . . . . . . . 29<br/>3.3.1 The KMV Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br/>3.3.2 The CreditMetrics Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br/>4 The Asymptotic Single Risk Factor Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br/>4.1 The ASRF Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br/>4.2 The IRB Risk Weight Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br/>4.3 The Loss Distribution of an Infinitely Granular Portfolio . . . . . 38<br/>5 Mixture Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br/>5.1 Bernoulli and Poisson Mixture Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br/>5.2 The Influence of the Mixing Distribution on the Loss<br/>Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br/>5.3 Relation Between Latent Variable Models and Mixture Models 50<br/>X Contents<br/>6 TheCreditRisk+ Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br/>6.1 Basic Model Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br/>6.2 The Poisson Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br/>6.3 Model with Random Default Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br/>Part II Concentration Risk in Credit Portfolios<br/>7 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br/>8 Ad-Hoc Measures of Concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br/>8.1 Concentration Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br/>8.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br/>9 Name Concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br/>9.1 A Granularity Adjustment for the ASRF Model . . . . . . . . . . . . . 76<br/>9.1.1 Example as Motivation for GA Methodology . . . . . . . . . . 77<br/>9.1.2 The General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br/>9.1.3 The Granularity Adjustment in a Single Factor<br/>CreditRisk+ Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br/>9.1.4 Data on German Bank Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br/>9.1.5 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br/>9.1.6 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br/>9.2 The Semi-Asymptotic Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br/>9.2.1 The General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br/>9.2.2 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br/>9.3 Methods Based on the Saddle-Point Approximation . . . . . . . . . . 93<br/>9.3.1 The General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br/>9.3.2 Application to Name Concentration Risk . . . . . . . . . . . . . 96<br/>9.4 Discussion and Comparison Study of the Granularity<br/>Adjustment Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br/>9.4.1 Empirical Relevance of the Granularity Adjustment . . . . 100<br/>9.4.2 Why a Granularity Adjustment Instead of the HHI? . . . 100<br/>9.4.3 Accuracy of the Granularity Adjustment and<br/>Robustness to Regulatory Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br/>9.4.4 Comparison of Granularity Adjustment with Other<br/>Model-Based Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br/>9.4.5 Agreement of Granularity Adjustment and Saddle-<br/>Point Approximation Method in the CreditRisk+<br/>Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br/>10 Sector Concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br/>10.1 Analytical Approximation Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br/>10.1.1 Analytical Approximation for Value-at-Risk . . . . . . . . . . 109<br/>10.1.2 Analytical Approximation for Expected Shortfall . . . . . . 117<br/>10.1.3 Performance Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br/>Contents XI<br/>10.1.4 Summary and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br/>10.2 Diversification Factor Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br/>10.2.1 The Multi-Sector Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br/>10.2.2 The Capital Diversification Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123<br/>10.2.3 Marginal Capital Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124<br/>10.2.4 Parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126<br/>10.2.5 Application to a Bank Internal Multi-Factor Model . . . . 127<br/>10.2.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129<br/>11 Empirical Studies on Concentration Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131<br/>11.1 Sector Concentration and Economic Capital . . . . . . . . . . . . . . . . 132<br/>11.1.1 The Model Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br/>11.1.2 Data Description and Portfolio Composition . . . . . . . . . . 133<br/>11.1.3 Impact of Sector Concentration on Economic Capital . . 135<br/>11.1.4 Robustness of EC Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136<br/>11.1.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<br/>11.2 The Influence of Systematic and Idiosyncratic Risk on Large<br/>Portfolio Losses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140<br/>11.2.1 Descriptive Analysis of SNC Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140<br/>11.2.2 Simple Indices of Name and Sector Concentration . . . . . 141<br/>11.2.3 Modeling Dependencies in Losses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142<br/>11.2.4 Monte Carlo Simulation of the Portfolio Loss<br/>Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143<br/>11.2.5 Empirical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br/>11.2.6 Summary and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br/>Part III Default Contagion<br/>12 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br/>13 Empirical Studies on Default Contagion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155<br/>13.1 The Doubly Stochastic Property and its Testable Implications 156<br/>13.2 Data for Default Intensity Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159<br/>13.3 Goodness-of-Fit Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159<br/>13.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<br/>14 Models Based on Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165<br/>14.1 Equivalence of Latent Variable Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166<br/>14.2 Sensitivity of Losses on the Dependence Structure . . . . . . . . . . . 168<br/>14.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170<br/>XII Contents<br/>15 A Voter Model for Credit Contagion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173<br/>15.1 The Model Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174<br/>15.2 Invariant and Ergodic Measures for the Voter Model . . . . . . . . . 177<br/>15.3 The Non-Dense Business Partner Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179<br/>15.4 The Dense Business Partner Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180<br/>15.5 Aggregate Losses on Large Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182<br/>15.6 Discussion and Comparison with Alternative Approaches . . . . . 186<br/>15.6.1 The Mean-Field Model with Interacting Default<br/>Intensities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187<br/>15.6.2 A Dynamic Contagion Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189<br/>15.7 Contagion Through Macro- and Microstructural Channels . . . . 190<br/>15.7.1 A Model with Macro- and Micro-Structural Dependence 191<br/>15.7.2 The Rating Migrations Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193<br/>15.7.3 Results and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194<br/>16 Equilibrium Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<br/>16.1 A Mean-Field Model of Credit Ratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198<br/>16.2 The Mean-Field Model with Local Interactions . . . . . . . . . . . . . . 202<br/>16.3 Large Portfolio Losses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205<br/>16.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208<br/>A Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211<br/>References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217<br/>Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223</p>

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