<p>Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii<br/>Chapter 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br/>w Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br/>w A first glance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br/>w A stochastic optimal control problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br/>w Stochastic differential utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br/>w Option pricing and contingent claim valuation . . . . . . . . . . . . . 7<br/>w Definitions and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br/>w Some Nonsolvable FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br/>w Well-posedness of BSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br/>w Solvability of FBSDEs in Small Time Durations . . . . . . . . . . . . . . . 19<br/>w Comparison Theorems for BSDEs and FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . 22<br/>Chapter 2. Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br/>w Compatible Conditions for Solvability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br/>w Some Reductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br/>w Solvability of Linear FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br/>w Necessary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br/>w Criteria for solvability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br/>w A Riccati Type Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br/>w Some Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br/>Chapter 3. Method of Optimal Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br/>w Solvability and the Associated Optimal Control Problem . . . . . . 51<br/>w An optimal control problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br/>w Approximate Solvability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br/>w Dynamic Programming Method and the HJB Equation . . . . . . . 57<br/>w The Value Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br/>w Continuity and semi-concavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br/>w Approximation of the value function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br/>w A Class of Approximately Solvable FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br/>w Construction of Approximate Adapted Solutions . . . . . . . . . . . . . . 75<br/>Chapter 4. Four Step Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br/>w A Heuristic Derivation of Four Step Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br/>w Non-Degenerate Case--Several Solvable Classes . . . . . . . . . . . . . . . 84<br/>w A general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br/>w The case when h has linear growth in z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br/>w The case when m : 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br/>w Infinite Horizon Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br/>xii Contents<br/>w The nodal solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br/>w Uniqueness of nodal solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br/>w The limit of finite duration problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br/>Chapter 5. Linear, Degenerate Backward Stochastic<br/>Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br/>w Formulation of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br/>w Well-posedness of Linear BSPDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br/>w Uniqueness of Adapted Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br/>w Uniqueness of adapted weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br/>w An It5 formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br/>w Existence of Adapted Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br/>w A Proof of the Fundamental Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126<br/>w Comparison Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130<br/>Chapter 6. The Method of Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137<br/>w The Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137<br/>w Method of Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140<br/>w The solvability of FBSDEs linked by bridges . . . . . . . . . . . . . 140<br/>w A priori estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143<br/>w Some Solvable FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148<br/>w A trivial FBSDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148<br/>w Decoupled FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149<br/>w FBSDEs with monotonicity conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br/>w Properties of Bridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154<br/>w Construction of Bridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158<br/>w A general consideration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158<br/>w A one dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161<br/>Chapter 7. FBSDEs with Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169<br/>w Forward SDEs with Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169<br/>w Backward SDEs with Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171<br/>w Reflected Forward-Backward SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181<br/>w A priori estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182<br/>w Existence and uniqueness of the adapted solutions . . . . . . . . 186<br/>w A continuous dependence result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190<br/>Chapter 8. Applications of FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193<br/>w An Integral Representation Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193<br/>w A Nonlinear Feynman-Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<br/>w Black's Consol Rate Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201<br/>w Hedging Options for a Large Investor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207<br/>w Hedging without constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210<br/>w Hedging with constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219<br/>w A Stochastic Black-Scholes Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226<br/>Contents xiii<br/>w Stochastic Black-Scholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227<br/>w The convexity of the European contingent claims . . . . . . . . 229<br/>w The robustness of Black-Scholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . 231<br/>w An American Game Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232<br/>Chapter 9. Numerical Methods for FBSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235<br/>w Formulation of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235<br/>w Numerical Approximation of the Quasilinear PDEs . . . . . . . . . . 237<br/>w A special case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237<br/>w Numerical scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238<br/>w Error analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240<br/>w The approximating solutions {u(n)}~=l . . . . . . . . . . . . . 244<br/>w General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245<br/>w Numerical scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247<br/>w Error analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248<br/>w Numerical Approximation of the Forward SDE . . . . . . . . . . . . . . . 250<br/>Comments and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257<br/>References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259<br/>Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269</p><p></p><p><br/></p>

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