<p><br/></p><p><strong><font size="3">An Introduction to Computational Finance</font></strong></p><p>Lecture notes from University of Waterloo by Peter Forsyth</p><p>Contents<br/>1 The First Option Trade 3<br/>2 The Black-Scholes Equation 3<br/>2.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br/>2.2 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br/>2.3 A Simple Example: The Two State Tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br/>2.4 A hedging strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br/>2.5 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br/>2.6 Geometric Brownian motion with drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br/>2.6.1 Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br/>2.6.2 Some uses of Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br/>2.6.3 Some more uses of Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br/>2.7 The Black-Scholes Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br/>2.8 Hedging in Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br/>2.9 The option price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br/>2.10 American early exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br/>3 The Risk Neutral World 17<br/>4 Monte Carlo Methods 19<br/>4.1 Monte Carlo Error Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br/>4.2 Random Numbers and Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br/>4.3 The Box-Muller Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br/>4.3.1 An improved Box Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br/>4.4 Speeding up Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br/>4.5 Estimating the mean and variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br/>4.6 Low Discrepancy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br/>4.7 Correlated Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br/>4.8 Integration of Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br/>4.8.1 The Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br/>4.8.2 Strong and Weak Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br/>4.9 Matlab and Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br/>5 The Binomial Model 37<br/>5.1 A No-arbitrage Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br/>6 More on Ito’s Lemma 41<br/>7 Derivative Contracts on non-traded Assets and Real Options 44<br/>7.1 Derivative Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br/>7.2 A Forward Contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br/>7.2.1 Convenience Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br/>7.2.2 Volatility of Foward Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br/>8 Discrete Hedging 49<br/>8.1 Delta Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br/>8.2 Gamma Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br/>8.3 Vega Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br/>9 Jump Diffusion 54<br/>9.1 The Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br/>9.2 The Jump Diffusion Pricing Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br/>9.3 An Alternate Derivation of the Pricing Equation for Jump Diffusion . . . . . . . . . . . . . . 59<br/>10 Regime Switching 62<br/>11 Mean Variance Portfolio Optimization 64<br/>11.1 Special Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br/>11.2 The Portfolio Allocation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br/>11.3 Adding a Risk-free asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br/>11.4 Criticism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br/>11.5 Individual Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br/>12 Stocks for the Long Run? 74<br/>13 Further Reading 75<br/>13.1 General Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br/>13.2 More Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br/>13.3 More Technical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77</p>