问题1：

假设有两个参与者 i ∈ {1, 2} 的博弈。 两个参与者最初都被赋予了收入 y 并且可能为公共物品做出贡献。 参与者 i 的贡献表示为 gi∈ [0,y]。 参与者 i 的效用由下式给出

ui (gi,gj )=y-gi+2/3(gi+gj)

两个参与者同时选择他们的贡献。

a) 假设两个参与者均在一次性的博弈中互动。导出纳什均衡并解释结果。

b) 什么是社会最优贡献，即最大化总效用 u1+u2 的贡献？解释结果。

问题2：

假设总人口分布在区间 [−1, 1] 上的两个国家。每个国家的人口密度是统一的。两国之间的边界由 b ∈ (0, 1) 定义。较大的国家从 -1 延伸到 b，较小的国家从 b 延伸到 1（见图 1）。每个人用一个单位购买一种消费品。假设在引入任何税收之前产品的净估值在大国是 V，在小国是 v。商品税 T 和 t 分别在大国和小国征收。如果大国的个人在其居住国购买该商品，则不会产生额外成本，即个人的盈余为 V−T 。如果他在边境购买商品，他的盈余是 V−t−dS 其中 S 表示个人位置和边境之间的距离，d 是每单位距离的运输成本。位于小国的个人的盈余以类似方式定义，其中 s 表示个人所在位置与边界之间的距离。为简单起见，假设对于给定的净估值和税收，即使是离边境最远的个人也会在边境购买商品时产生正盈余。

图1：跨境购物

a) 定义临界距离 S∗ 使得位于大国的个人在居住国和在边境购买商品没有区别。为位于小国的个人找到类似的临界距离 s∗。

b) 考虑到跨境购物，大国和小国分别产生的税收收入 R(T, t) 和 r(t, T ) 分别是多少。

c) 假设两国同时选择使税收收入最大化的商品税率。

c1) 证明最佳响应函数分别由下式给出

T=d/2(1+b)+t/2 andt=d/2(1-b)+T/2

c2) 确定纳什均衡并简要解释您的解决方案。

d) d1)跨境购物金额如何受到运输成本 d 的影响？

d2)两国之间的不对称性，即 b 是如何影响它的？