Discrete Stochastic Models for Finance
Marc et Francine DIENER
September 1, 2005

Contents
0 Conditional expectation 7
0.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2 A-measurable random variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.3 Properties of the conditional expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Vanilla options 13
1.1 Basic approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 What are derivatives ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 En route towards the stochastic approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Model-free properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 The butterfly spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 The Call-Put relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Exotic options 23
2.1 What is an exotic option ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Barrier options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Pricing an exotic option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Profit’n Loss 27
3.0 Actualization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Martingales with respect to F(S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Profit and loss of a predictable strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Martingales representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Appendix 1 : self-financing strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Appendix 2 : hedging away the risk of options : the Black and Scholes Story . . 32
4 Arbitrage probabilities 33
4.1 Uncomplete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Profit-and-Loss and martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Arbitrage-free markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.1 The fundamental theorem of arbitrage-free probabilities . . . . . . . . . . 35
4.3.2 Existence of P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.3 Pricing with an arbitrage-free probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 A stochastic interest-rates model 39
5.1 Some general facts on the present value of future money . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.1 Where are the risks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.2 Zero coupons and the term structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.3 Short-term interest-rates and actualization . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.4 Stochastic rollover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 The Ho and Lee model for the term structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 The model as a three parameters model : , , and N . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3.1 No arbitrage condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A Exercises with Maple 45
A.1 The net '(t, S) and the delta-hedge in a binomial tree model . . . . . . . . . . . 45
A.2 American options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.2.1 The dynamic programming approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.2.2 Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.3 Convergence of the CRR price towards the Black-Scholes price . . . . . . . . . . 47
A.4 The Ho and Lee model for interest-rates, and interest-rates derivatives . . . . . . 48