(Thm.) 任意实的 $n$ 维赋范空间 $(X,|| ·||)$ 必与 $R^n$ 代数同构、拓扑同胚

- 代数同构指两者之间存在线性双射.
- 拓扑同胚指两者之间存在连续双射并且逆映射也连续.
- 这个定理告诉我们 $R^n$ 上定义的所有范数都等价, 有限维的赋范空间都是 Banach 空间.
$Proof$ :
有条件, 存在一组基 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n \}$, 对于 $\forall x \in X, x = \sum_{k=1}^{n}e_kx_k$.
设 $T: X \to \mathbb{R}^n, x \mapsto \bar{x}=(x_1, x_2, \cdots, x_n)$. $T$ 是线性双射, 所以是从 $X$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的同构映射.

在 $n$ 维球面 $S^n = \{\bar{x}=(x_1, x_2, \cdots, x_n) | \sum_{k=1}^{n} ||x_k||^2=1\}$ 上定义映射 $f$ , $f (\bar{x} ) = f (x_1, x_2, \cdots, x_n) = ||x||=||\sum_{k=1}^{n}e_kx_k||$.
1. 非负性：由于在$S^n$上, $\sum_{k=1}^{n}e_kx_k$恒不为零, 所以$f (\bar{x})=\|x\|>0$ .
2. 连续性：利用 Holder 不等式, 可得 $$||x|| = ||\sum_{k=1}^{n}e_kx_k|| \le \sum_{k=1}^{n}||e_k|| · ||x_k||=\left(\sum_{k=1}^{n} ||e_k||^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^{n} ||x_k||^2\right)^{\frac{1}{2}} =\left(\sum_{k=1}^{n} ||e_k||^2\right)^{\frac{1}{2}}||\bar{x}|| = \beta ||\bar{x}||$$ 记 $\left (\sum_{k=1}^{n} ||e_k||^2\right)^{\frac{1}{2}}= \beta$. 对于 $\forall \bar{x}=\left (\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right), \bar{y}=\left (\eta_{1}, \cdots, \eta_{n}\right) \in S$ , $|f(\bar{x}) - f(\bar{y} )|=|\|x\|-\|y\|| \leqslant\|x-y\| \leqslant \beta\|\bar{x}-\bar{y}\|,$ 所以$f (\bar{x})$是连续的. (实际上由该式可得是一致连续的)

因为 $S^n$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的有界闭集，所以是紧集，所以 $f(\bar{x})$ 在 $S^n$ 上取到最小值，即 $\exists \alpha > 0, \forall \bar{x} \in S^n$，有 $f(\bar{x}) = \|\bar{x}\| \geqslant \alpha$. 对于 $\forall x \in X$ 且 $x \neq 0$，对应的 $\bar{x} \in \mathbb{R}^{n}$，$\frac{\bar{x}}{\|\bar{x}\|} \in S$, 所以 $f\left (\frac{\bar{x}}{\|\bar{x}\|}\right)=\left\|\frac{x}{\|\bar{x}\|}\right\| \geqslant \alpha$, 所以 $\|x\| \geqslant \alpha\|\bar{x}\|$.

所以 $\alpha\|\bar{x}\| \leqslant\|x\| \leqslant \beta\|\bar{x}\|$, 所以 $X$与$\mathbb{R}^{n}$ 的范数在代数同构意义下等价, 所以 $f$ 是连续双射并且逆映射也连续, 所以是同胚映射.