Pricing Equity Derivatives under Stochastic Volatility : A Partial Differential Equation Approach

Roelof Sheppard
August 30, 2007

Contents
1 Introduction 1
2 The PDE for Stochastic Volatility Models 5
2.1 PDE for general stochastic volatility processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 PDEs for the major stochastic volatility models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 SABR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Heston model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Hull & White model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 One Dimensional Finite Difference Methods 13
3.1 Discrete approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 A model problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 µ-method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5.1 von Neumann stability analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5.2 Matrix method of analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 A convection equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.1 µ-method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.2 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.3 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7.4 µ-method for an upwind scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.7.5 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
iv
CONTENTS
3.7.6 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7.7 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Alternative Approaches for the One Dimensional FDM 35
4.1 Reduction to a system of ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 The solution of du(¿)
d¿ = Au(¿ ) + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Alternative derivation of classical one dimensional finite difference schemes . . . . . . . . 37
4.2.1 The Pad´e approximations of eµ, µ 2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2 Classical FDMs via Pad´e approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 A0-stability, L0-stability and the symbol of the method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.1 Stability analysis of classical schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Extrapolation methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.1 Second order extrapolation scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.2 Third order extrapolation scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.3 Fourth order extrapolation scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.4 Higher order schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Two Dimensional Finite Difference Methods 53
5.1 Discrete approximations (Continued) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Implicit Explicit schemes (IMEX-schemes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.1 von Neumann stability analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.2 Matrix formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4.3 Stability under the maximum norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6 The Yanenko scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6.1 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.7 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.8 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.8.1 von Neumann stability analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.8.2 Matrix formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
v
CONTENTS
5.8.3 Stability under the maximum norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.8.4 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6 Alternative Approaches for the Two Dimensional FDM 86
6.1 Reduction to a system of ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 A derivation of the Yanenko scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.1 L0-stability of the Yanenko method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3 Extrapolation methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3.1 Third order extrapolation scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3.2 Fourth order extrapolation scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7 Extensions on the Finite Difference Method 102
7.1 Non-uniform grids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.1.1 Grid generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.1.2 Divided differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.1.3 Matrix formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2 Removing the cross-derivative term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3 Non-Smooth payoff functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3.1 Rannacher time-marching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3.2 Averaging of initial conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.3.3 Shifting the mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8 Numerical solution of stochastic volatility PDEs: Heston, Hull & White, and SABR 117
8.1 Stochastic volatility models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.1.1 European put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.1.2 European call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2 The SABR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.3 The Heston model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.4 The Hull & White model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9 Numerical Results 122
9.1 The algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.2 Heston model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
vi
CONTENTS
9.3 SABR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.4 Exponential fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133