作者：P.J.C. Spreij
Contents
1 Stochastic processes 1
1.1 General theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Stopping times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Martingales 6
2.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Limit theorems and optional sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Doob-Meyer decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Square integrable martingales 17
3.1 Structural properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Quadratic variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Local martingales 23
4.1 Localizing sequences and local martingales . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Continuous local martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Spaces of progressive processes 26
5.1 Dol´eans measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 Local variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 Simple processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Stochastic Integral 30
6.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2 Characterizations and further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Integration w.r.t. local martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7 The Itˆo formula 38
7.1 Semimartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.2 Integration by parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.3 Itˆo’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.4 Applications of Itˆo’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8 Integral representations 45
8.1 First representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.2 Representation of Brownian local martingales . . . . . . . . . . . . . . 46
8.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9 Absolutely continuous change of measure 51
9.1 Absolute continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.2 Change of measure on filtered spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9.3 The Girsanov theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.4 The Kazamaki and Novikov conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10 Stochastic differential equations 60
10.1 Strong solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.2 Weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
10.3 Markov solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11 Partial differential equations 74
11.1 Feynman-Ka¸c formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A Optional sampling in discrete time 80
B Banach-Steinhaus theorem 82
C Dunford-Pettis uniform integrability criterion 83



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