An Introduction to Continuous-Time Stochastic Processes Theory, Models, and Applications to Finance, Biology, and Medicine

丛书	Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology
学科	Mathematics, Probability Theory and Stochastic Processes, Mathematical Modeling and Industrial Mathematics, Applications of Mathematics, Mathematical Biology in General, Quantitative Finance and Appl.Mathematics/Computational Methods of Engineering
出版社	Birkhäuser Boston
DOI	10.1007/b138900
版权	2005
ISBN	978-0-8176-3234-2 (Print) 978-0-8176-4428-4 (Online)
学科分类	数学和统计学
学科	Mathematics, Probability Theory and Stochastic Processes, Mathematical Modeling and Industrial Mathematics, Applications of Mathematics, Mathematical Biology in General, Quantitative Finance and Appl.Mathematics/Computational Methods of Engineering
SpringerLink Date	2008年1月3日

Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Part I The Theory of Stochastic Processes
1 Fundamentals of Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Probability and Conditional Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Random Variables and Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Conditional and Joint Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7 Convergence of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8 Exercises and Additions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Stopping Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3 Canonical Form of a Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Gaussian Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Processes with Independent Increments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7 Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.8 Brownian Motion and the Wiener Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.9 Counting, Poisson, and L´evy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.10 Marked Point Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.11 Exercises and Additions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3 The Itˆo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.1 Definition and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2 Stochastic Integrals as Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
x Contents
3.3 Itˆo Integrals of Multidimensional Wiener Processes . . . . . . . . . . 143
3.4 The Stochastic Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.5 Itˆo’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.6 Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.7 Multidimensional Stochastic Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.8 Exercises and Additions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.1 Existence and Uniqueness of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2 The Markov Property of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.3 Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.4 Kolmogorov Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.5 Multidimensional Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . 194
4.6 Stability of Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.7 Exercises and Additions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Part II The Applications of Stochastic Processes
5 Applications to Finance and Insurance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.1 Arbitrage-Free Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.2 The Standard Black–Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.3 Models of Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.4 Contingent Claims under Alternative Stochastic Processes . . . . 227
5.5 Insurance Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.6 Exercises and Additions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6 Applications to Biology and Medicine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.1 Population Dynamics: Discrete-in-Space–Continuous-in-Time
Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.2 Population Dynamics: Continuous Approximation of Jump
Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.3 Population Dynamics: Individual-Based Models . . . . . . . . . . . . . 253
6.4 Neurosciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6.5 Exercises and Additions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Part III Appendices
A Measure and Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
A.1 Rings and σ-Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
A.2 Measurable Functions and Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
A.3 Lebesgue Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
A.4 Lebesgue–Stieltjes Measure and Distributions . . . . . . . . . . . . . . . 292
A.5 Stochastic Stieltjes Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Contents xi
B Convergence of Probability Measures on Metric Spaces . . . . 297
B.1 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
B.2 Prohorov’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
B.3 Donsker’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
C Maximum Principles of Elliptic and Parabolic Operators . . 313
C.1 Maximum Principles of Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
C.2 Maximum Principles of Parabolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 315
D Stability of Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 321
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325