这是一本函数型数据分析的书籍，具体内容如下1 Introduction to Functional Data Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 What Are Functional Data? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1 Data on the Growth of Girls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2 Data on US Manufacturing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.3 Input/Output Data for an Oil Refinery . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2 Multivariate Functional Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.1 Data on How Children Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.2 Data on Handwriting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3 Functional Models for Nonfunctional Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4 Some Functional Data Analyses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 First Steps in a Functional Data Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Data Representation: Smoothing and Interpolation . . . . . . . 12
1.5.2 Data Registration or Feature Alignment . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3 Graphing Functional Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.4 Plotting Pairs of Derivatives: Phase-Plane Plots . . . . . . . . . 15
1.6 Exploring Variability in Functional Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.1 Functional Descriptive Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2 Functional Principal Components Analysis . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.3 Functional Canonical Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Functional Linear Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Using Derivatives in Functional Data Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10 Some Things to Try . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Essential Comparisons of the Matlab and R Languages. . . . . . . . . . . . . 21
2.1 A Quick Comparison of Matlab and R Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Minor Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Using Functions in the Two Languages . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Singleton Index Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Classes and Objects in R and Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 More to Read . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
viiviii
Contents
3 How to Specify Basis Systems for Building Functions. . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Basis Function Systems for Constructing Functions . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Fourier Series for Periodic Data and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Spline Series for Nonperiodic Data and Functions . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Break Points and Knots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Order and Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.4 B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.5 Computational Issues Concerning the Range of t . . . . . . . . 38
3.4 Constant, Monomial and Other Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.1 The Constant Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.2 The Monomial Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.3 Other Basis Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Methods for Functional Basis Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 The Structure of the basisfd or basis Class . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 Some Things to Try . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 How to Build Functional Data Objects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 Adding Coefficients to Bases to Define Functions . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1 Coefficient Vectors, Matrices and Arrays . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2 Labels for Functional Data Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Methods for Functional Data Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.1 Illustration: Sinusoidal Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Smoothing Using Regression Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.1 Plotting the January Thaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 The Linear Differential Operator or Lfd Class . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Bivariate Functional Data Objects: Functions of Two Arguments . 56
4.6 The Structure of the fd and Lfd Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.7 Some Things to Try . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Smoothing: Computing Curves from Noisy Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Regression Splines: Smoothing by Regression Analysis . . . . . . . . . 59
5.2 Data Smoothing with Roughness Penalties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.1 Choosing a Roughness Penalty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.2 The Roughness Penalty Matrix R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.3 The Smoothing or “Hat” Matrix and Degrees of Freedom . 65
5.2.4 Defining Smoothing by Functional Parameter Objects . . . . 66
5.2.5 Choosing Smoothing Parameter λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Case Study: The Log Precipitation Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4 Positive, Monotone, Density and Other Constrained Functions . . . 70
5.4.1 Positive Smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.2 Monotone Smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.3 Probability Density Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5 Assessing the Fit to the Data. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6 Details for the fdPar Class and smooth.basis Function . . . . 78Contents
ix
5.6.1 The fdPar class. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6.2 The smooth.basis Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7 Some Things to Try . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.8 More to Read . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Descriptions of Functional Data. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1 Some Functional Descriptive Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.1 The Bivariate Covariance Function v(s,t) . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2 The Residual Variance-Covariance Matrix Σe . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 Functional Probes ρξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4 Phase-Plane Plots of Periodic Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4.1 Phase-Plane Plots Show Energy Transfer . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4.2 The Nondurable Goods Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.3 Phase-Plane Plotting the Growth of Girls . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5 Confidence Intervals for Curves and Their Derivatives . . . . . . . . . . 92
6.5.1 Two Linear Mappings Defining a Probe Value . . . . . . . . . . 93
6.5.2 Computing Confidence Limits for Probe Values . . . . . . . . . 95
6.5.3 Confidence Limits for Prince Rupert’s Log Precipitation . . 95
6.6 Some Things to Try . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7 Exploring Variation: Functional Principal and Canonical
Components Analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.1 An Overview of Functional PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.2 PCA with Function pca.fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.2.1 PCA of the Log Precipitation Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.2 PCA of Log Precipitation Residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3 More Functional PCA Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4 PCA of Joint X-Y Variation in Handwriting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.5 Exploring Functional Covariation with Canonical Correlation
Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.6 Details for the pca.fd and cca.fd Functions . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.6.1 The pca.fd Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.6.2 The cca.fd Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.7 Some Things to Try . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.8 More to Read . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8 Registration: Aligning Features for Samples of Curves . . . . . . . . . . . . . 117
8.1 Amplitude and Phase Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.2 Time-Warping Functions and Registration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.3 Landmark Registration with Function landmarkreg . . . . . . . . . 121
8.4 Continuous Registration with Function register.fd . . . . . . . . 122
8.5 A Decomposition into Amplitude and Phase Sums of Squares . . . . 125
8.6 Registering the Chinese Handwriting Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.7 Details for Functions landmarkreg and register.fd . . . . . 127
8.7.1 Function landmarkreg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127x
Contents
8.7.2 Function register.fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.8 Some Things to Try . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.9 More to Read . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9 Functional Linear Models for Scalar Responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.1 Functional Linear Regression with a Scalar Response . . . . . . . . . . . 131
9.2 A Scalar Response Model for Log Annual Precipitation . . . . . . . . . 132
9.3 Setting Up the Functional Linear Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4 Three Estimates of the Regression Coefficient Predicting
Annual Precipitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.4.1 Low-Dimensional Regression Coefficient Function β . . . . 134
9.4.2 Coefficient β Estimate Using a Roughness Penalty . . . . . . 135
9.4.3 Choosing Smoothing Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.4.4 Confidence Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.4.5 Scalar Response Models by Functional Principal
Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.5 Statistical Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.6 Some Things to Try . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.7 More to Read . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10 Linear Models for Functional Responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.1 Functional Responses and an Analysis of Variance Model . . . . . . . 147
10.1.1 Climate Region Effects on Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.1.2 Trends in Seabird Populations on Kodiak Island . . . . . . . . . 149
10.1.3 Choosing Smoothing Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.2 Functional Responses with Functional Predictors: The
Concurrent Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.2.1 Estimation for the Concurrent Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.2.2 Confidence Intervals for Regression Functions . . . . . . . . . . 157
10.2.3 Knee Angle Predicted from Hip Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.3 Beyond the Concurrent Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.4 A Functional Linear Model for Swedish Mortality . . . . . . . . . . . . . 163
10.5 Permutation Tests of Functional Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.5.1 Functional t-Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.5.2 Functional F-Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.6 Details for R Functions fRegress, fRegress.CV and
fRegress.stderr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.6.1 Function fRegress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.6.2 Function fRegress.CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.6.3 Function fRegress.stderr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.7 Details for Function plotbeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.8 Details for Function linmod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.9 Details for Functions Fperm.fd and tperm.fd . . . . . . . . . . . . . 175
10.9.1 Function Fperm.fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.9.2 Function tperm.fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Contents
xi
10.10 Some Things to Try . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.11 More to Read . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11 Functional Models and Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.1 Introduction to Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.1.1 An Example of First-Order Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11.1.2 Interpreting Second-Order Linear Dynamics . . . . . . . . . . . . 181
11.1.3 Higher-Dimensional Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
11.2 Principal Differential Analysis for Linear Dynamics . . . . . . . . . . . . 184
11.3 Principal Differential Analysis of the Lip Data . . . . . . . . . . . . . . . . 185
11.4 PDA of the Handwriting Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.5 Registration and PDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.6 Details for pda.fd, eigen.pda, pda.overlay and
register.newfd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.6.1 Function pda.fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.6.2 Function eigen.pda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
11.6.3 Function pda.overlay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.6.4 Function register.newfd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.7 Some Things to Try . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.8 More to Read . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Symbol Table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .