Contents
Chapter 1. Introduction 5
1.1 Mathematics and nance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Basic notions and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Nonlinear Black{Scholes type equations . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chapter 2. Option Pricing with Transaction Costs 31
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 The transformed problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Finite dierence schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 R3C scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Numerical study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Convergence results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7 Financial example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Chapter 3. Parameter Estimation in Option Pricing 65
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 The optimal control problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 The optimization method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Chapter 4. Optimal Portfolio in Incomplete Markets 99
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 The Cauchy problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4 Uniqueness of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.5 Application and numerical example . . . . . . . . . . . . . . . 124
Bibliography 126[local]