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| 文件名: 随机微分方程中几个公式的注解03.doc | |
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随机微分方程中有几个重要的公式，包括Ito公式， Dynken公式，Girsanov定理和Feynman-Kac公式在资产定价里有着很多应用。
假定： 关于资产的假定： 1、因为我们通常是假设资产的价格St 是个随机过程，特别的，是个Ito过程或者Ito扩散。 2、假定贴现因子是个随机过程。金融资产定价理论里时间是个很重要的因素，时间的价值通过贴现因子来反应。通常这个贴现因子被认为是随机的。而这个贴现因子和无套利，等价鞅测度都有着重要的关系。 3、我们还假设有资产组合，而资产组合都是线性的组合。因为无套利要求定价算子是线性的，所以非线性的资产组合是不存在的。 问题的提出： 1、资产在0时刻的期望值是多少？ 2、资产组合在0时刻的期望值是多少？ 3、贴现因子是否是存在的，是否是唯一的？ 4、等价鞅测度是怎回事？ 5、BS公式是怎么回事？ 问题的回答： 实际上我并不打算回答所有的这些问题，而且以我现在的理解还不能以简单的语言来回答上面的这些问题。我现在想做的就是说一说上面提到的微分方程中的几个公式在资产定价的这些问题中的地位和作用，好加深对这些公式的理解。 1、Ito公式 Ito公式的出现是由于我们必须对随机过程进行积分。随机过程如果看成是t和随机变量ω的函数，对随机过程的积分就比对普通函数的积分多了一个对ω这个随机变量的积分。而随机变量一般用 dBt来表示。就是说，对随机过程的积分多了这么一项。如果我们把这个dBt的积分 也看成是个普通的积分的话，那么就可以对随机过程进行积分，称为随机积分或者Ito积分。这个随机积分就是和Riemann积分多了对dBt积分这一项。那么Ito公式考虑的是什么问题呢？Ito公式考虑的是Riemann积分中的链式法则问题。就是在Riemann积分中，f（x）的导数是f'(x)，h(x)=f(g(x))则h’(x）=f'(g(x)g'(x).那么对于建立起来的Ito积分怎么办呢？也必须搞出一个同样的东西出来，因为我们在资产定价中也会遇到同样的问题，例如f'(St) 等于多少这样的问题，这也就需要相对应的链式法则。Ito公式就是这样的链式法则。 |
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