风险理论练习题
一、简述题
1. 简述个体风险模型与聚合风险模型主要特点？
2. 简述效用理论的基本含义？
3.风险的含义包括那些方面？举例说明？
4.如何使用效用函数进行保险定价？
5.简述保费定价的的各种方法？
6.通过盈余过程简述破产的基本含义？
二.计算题
1.设理赔概率为0.1 求以下两种情况下风险X = IB 的均值与方差
（1）B以概率1等于5；（2） B : U (0,10) .
2.考虑如下的分布函数 F :
0 , 2,
( ) / 4 , 2 4,
1 , 4 .
x
F x x x
x
ì <
= ï £ < í
ï £ î
试确定相互独立的随机变量 I, X 和Y 使得 Z = IX + (1- I )Y 的分布函数为F ，其
中I 为Bernoulli 随机变量， X 为离散型，Y 为连续性.
3. 设 T = qX + (1- q)Y , Z = IX + (1- I )Y ， 其中 I : Bernoulli(q ) ， 求
E[Tk ], E[Zk ], k = 1, 2.
4.假设某保险的损失额服从指数分布 150 ( ) 1
150
x
X f x e - = 保单规定免赔额为 100
元，赔偿限额为1000元，比例分担系数为0.8，计算 E(X ) 和 E(Y * ) .
5.设个体理赔变量 X = IB , 其中 P(I = 1) = 0.05 , B 服从[0，20]上的均匀分布，
求E（ X ）和 Var(X ) .
6.幸运的阿福在上班的路上总能捡到硬币，已 知他平均每分钟捡到硬币的次数服
从泊松分布，参数 l = 0.5 ，硬币的面值服从以下分布：
（1）60﹪的硬币面值为 1；（2）20﹪的硬币面值为 5；（3）20﹪的硬币面值为
10；设S 表示1 小时内阿福捡到硬币的总面值，求S 的方差.
7.设泊松盈余过程的泊松参数 l = 1 ，个 别理赔额分布为均值等于2的指数分布，
保费收取速率为4，求破产概率 Y (u ).
8.某公司的效用函数为 u( x ) 1 1
x
= - ，( x > 0) .当前此公司的财富为 5.该公司将
要遭受一笔损失X ，X 的密度函数为 f ( x) = 0.5x,(0 < x < 2) .为了对这笔未来的
损失投保，求该公司愿意支付的最大保费.
9.某保险公司承保了如下特性的保单组合：
(1) 每张保单最多发生一次索赔，并且索赔发生的概率为0.02;
(2) 索赔发生时的个体理赔额分布如下：
理赔额 1 2 3 4
概 率 0.4 0.3 0.2 0.1
(3) 安全附加系数为 1/3。 为了使所收取保费总额低于赔付总额的概率不超过
5%，保险公司需承保的最小保单数是多少。
10.某人拥有财产 100，其效用函数是 u( x) = x ,( x > 0)
他面临的损失X 的分布列是
若他购买了有免赔额的保险，保费为 10，则在此情况下他的期望效用可能的
最大值为多少？
11. 某保险公司0 时刻的盈余为3，每年年初的保费收入为2。每年的理赔额
如下表所示：
理赔额 发生该理赔额的概
率
0 0.15
1 0.25
2 0.4
4 0.2
如果每年的年末该保险公司的盈余大余3，它将超出3 的部分作为红利发放。
如果该保险公司无法支付理赔，或它的盈余为0，则该保险公司破产。计算该保
险公司第三年末不破产的概率。
12.设盈余过程中理赔过程是复合泊松过程，个别理赔额C 的密度函数
( ) 1 3 2 4
2 3
p x = e- x + e- x + e - x 又设调节系数R满足方程
1 2 1 1 1 3 1 4
2 1 3 3 6 4
R
R R R
+ = + +
- - -
则安全附加系数q 等于多少？
13.设保险人的效用函数为 ( ) 1 2
2
u x = x - x ，x∈(0,1)。假设某险种保单的理赔额
X 服从0 到1 之间的均匀分布，求保险人所能接受的最低保费。
14.假设保险公司代理欲向某人推销一种新保单，已知该投保人的初始财富为
50，效用函数为ln(x)，其面临的损失X的分布为 P(X = 0) = 0.5,P(X = 40) = 0.5
保险人的初始资本为 100，效用函数为 ( ) 0.1 x , 0
I u x = e- x > 。新保单规定在承保的
损失发生条件下，赔偿投保人20 的损失。请问这张保单是否有可能成交？
四.证明求解题
1. 如果效用函数满足 u¢( x) > 0,u¢¢ ( x ) < 0, 则对于随机变量 X ， 有
E(u(X )) £ u(E(X )).
2.利用矩母函数法证明两个独立且都有共同分布 N (0,1) 随机变量和仍服从正态
分布.
3.设有一个鸟窝，里面的蛋数服从 Poisson( l ) 分布，又设孵化出一只雌鸟的概率
等于 p ，求鸟窝中雌鸟个数的分布.
4.设有一个鸟窝，里面的蛋数服从 Poisson( l ) 分布，又设孵化出一只雌鸟的概率
等于 p ，求鸟窝中雌鸟个数的分布.