6 Smoothness and Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6.1 Riesz and Bessel Potentials, Fractional Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6.1.1 Riesz Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.1.2 Bessel Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.2 Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2.1 Definition and Basic Properties of General Sobolev Spaces . 13
6.2.2 Littlewood–Paley Characterization of Inhomogeneous
Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2.3 Littlewood–Paley Characterization of Homogeneous
Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.3 Lipschitz Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.3.1 Introduction to Lipschitz Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.3.2 Littlewood–Paley Characterization of Homogeneous
Lipschitz Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.3.3 Littlewood–Paley Characterization of Inhomogeneous
Lipschitz Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.4 Hardy Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4.1 Definition of Hardy Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4.2 Quasinorm Equivalence of Several Maximal Functions . . . . . 40
6.4.3 Consequences of the Characterizations of Hardy Spaces . . . . 53
6.4.4 Vector-Valued Hp and Its Characterizations . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4.5 Singular Integrals on Hardy Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4.6 The Littlewood–Paley Characterization of Hardy Spaces . . . 63
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.5 Besov–Lipschitz and Triebel–Lizorkin Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.5.1 Introduction of Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.5.2 Equivalence of Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.6 Atomic Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.6.1 The Space of Sequences ˙ fα,q
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.6.2 The Smooth Atomic Decomposition of ˙Fα,q
p . . . . . . . . . . . . . . 78
6.6.3 The Nonsmooth Atomic Decomposition of ˙F α,q
p . . . . . . . . . . 82
6.6.4 Atomic Decomposition of Hardy Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.7 Singular Integrals on Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.7.1 Singular Integrals on the Hardy Space H1 . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.7.2 Singular Integrals on Besov–Lipschitz Spaces . . . . . . . . . . . . 96
6.7.3 Singular Integrals on Hp(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.7.4 A Singular Integral Characterization of H1(Rn) . . . . . . . . . . . 104
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7 BMO and Carleson Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1 Functions of Bounded Mean Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1.1 Definition and Basic Properties of BMO . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.2 The John–Nirenberg Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1.3 Consequences of Theorem7.1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 Duality between H1 and BMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3 Nontangential Maximal Functions and CarlesonMeasures . . . . . . . . 135
7.3.1 Definition and Basic Properties of Carleson Measures . . . . . . 136
7.3.2 BMO Functions and CarlesonMeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.4 The SharpMaximal Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.4.1 Definition and Basic Properties of the Sharp Maximal
Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.4.2 A Good Lambda Estimate for the Sharp Function . . . . . . . . . 148
7.4.3 Interpolation Using BMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.4.4 Estimates for Singular Integrals Involving the Sharp Function152
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.5 Commutators of Singular Integrals with BMO Functions . . . . . . . . . . 157
7.5.1 An Orlicz-TypeMaximal Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.5.2 A Pointwise Estimate for the Commutator . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.5.3 Lp Boundedness of the Commutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8 Singular Integrals of Nonconvolution Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.1 General Background and the Role of BMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.1.1 StandardKernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.1.2 Operators Associated with StandardKernels . . . . . . . . . . . . . 175
8.1.3 Calder´on–Zygmund Operators Acting on Bounded Functions179
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2 Consequences of L2 Boundedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.2.1 Weak Type (1,1) and Lp Boundedness of Singular Integrals 183
8.2.2 Boundedness of Maximal Singular Integrals . . . . . . . . . . . . . . 185
8.2.3 H1 →L1 and L∞ →BMO Boundedness of Singular Integrals188
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.3 The T(1) Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.3.1 Preliminaries and Statement of the Theorem. . . . . . . . . . . . . . 193
8.3.2 The Proof of Theorem8.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.3.3 An Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.4 Paraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.4.1 Introduction to Paraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.4.2 L2 Boundedness of Paraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.4.3 Fundamental Properties of Paraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.5 An Almost Orthogonality Lemma and Applications . . . . . . . . . . . . . . 223
8.5.1 The Cotlar–Knapp–Stein Almost Orthogonality Lemma . . . . 224
8.5.2 An Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.5.3 Almost Orthogonality and the T(1) Theorem . . . . . . . . . . . . . 230
8.5.4 Pseudodifferential Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.6 The Cauchy Integral of Calder´on and the T(b) Theorem . . . . . . . . . . 238
8.6.1 Introduction of the Cauchy Integral Operator along a
Lipschitz Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.6.2 Resolution of the Cauchy Integral and Reduction of Its L2
Boundedness to a Quadratic Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.6.3 A Quadratic T(1) Type Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.6.4 A T(b) Theorem and the L2 Boundedness of the Cauchy
Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.7 Square Roots of Elliptic Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.7.1 Preliminaries and Statement of theMain Result . . . . . . . . . . . 256
8.7.2 Estimates for Elliptic Operators on Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.7.3 Reduction to a Quadratic Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.7.4 Reduction to a CarlesonMeasure Estimate . . . . . . . . . . . . . . . 261
8.7.5 The T(b) Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.7.6 The Proof of Lemma 8.7.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270