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Contents
Preface to the Third Edition Preface to the Second Edition I Option Pricing 1 1 Derivatives 3 1.1 Recommended Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Introduction to Option Management 13 2.1 Arbitrage Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Portfolio Insurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Binary One-Period Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Recommended Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Basic Concepts of Probability Theory 43 3.1 Real Valued Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Expectation and Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Skewness and Kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Random Vectors, Dependence, Correlation . . . . . . . . . . . 48 3.5 Conditional Probabilities and Expectations . . . . . . . . . . 49 3.6 Recommended Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4 Stochastic Processes in Discrete Time 55 4.1 Binomial Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Trinomial Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3 General Random Walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4 Geometric Random Walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5 Binomial Models with State Dependent Increments . . . . . . 63 4.6 Recommended Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 xi 51 xiii Contents 5 Stochastic Integrals and Differential Equations 67 5.1 Wiener Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2 Stochastic Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.4 The Stock Price as a Stochastic Process . . . . . . . . . . . . 76 5.5 Itˆo’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.6 Recommended Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6 Black–Scholes Option Pricing Model 85 6.1 Black–Scholes Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Black–Scholes Formula for European Options . . . . . . . . . 92 6.2.1 Numerical Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.3 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.3.1 Linear Congruential Generator . . . . . . . . . . . . . 100 6.3.2 Fibonacci Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.3.3 Inversion Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.3.4 Box-Muller Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.3.5 Marsaglia Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.4 Risk Management and Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.4.1 Delta Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.4.2 Gamma and Theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.4.3 Rho and Vega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Volga and Vanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.4.5 Historical and Implied Volatility . . . . . . . . . . . . 6.4.6 Realised Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Recommended Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7 Binomial Model for European Options 133 7.1 Cox–Ross–Rubinstein Approach to Option Pricing . . . . . . 134 7.2 Discrete Dividends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Dividends as a Percentage of the Stock Price . . . . . 139 7.2.2 Dividends as a Fixed Amount of Money . . . . . . . . 140 7.3 Recommended Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8 American Options 145 8.1 Arbitrage Relations for American Options . . . . . . . . . . . 145 8.2 The Trinomial Model for American Options . . . . . . . . . . 153 8.3 Recommended Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 xvi 118 122 138 126 Contents 9 Exotic Options 159 9.1 Compound Options, Option on Option . . . . . . . . . . . . . 159 9.2 Chooser Options or “As You Wish” Options . . . . . . . . . . 161 9.3 Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.4 Asian Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.5 Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.6 Cliquet Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.7 Basket Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.8 Recommended Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 9.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10 Interest Rates and Interest Rate Derivatives 173 10.1 Interest Rates and Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.1.1 Money Market Account . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 10.1.2 Forward Rate Agreement . . . . . . . . . . . . . . . . 176 10.1.3 Interest Rate Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 10.2 Risk Neutral Valuation and Numeraire Measures . . . . . . . 179 10.2.1 Principles of Risk Neutral Valuation . . . . . . . . . . 180 10.2.2 Change of Numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 10.2.3 Equivalent Martingale Measure . . . . . . . . . . . . . 182 10.2.4 Traditional Risk Neutral Numeraire . . . . . . . . . . 183 10.2.5 Other Choices of Numeraire . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.3 Interest Rate Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.3.1 The Black Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.3.2 Bond Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.3.3 Caps and Floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10.3.4 Swaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.4 Short Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.4.1 One-Factor Short-Rate Models . . . . . . . . . . . . . 191 10.4.2 Two-Factor Short-Rate Models . . . . . . . . . . . . . 193 10.5 Heath Jarrow Morton Framework . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10.5.1 HJM Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10.5.2 Short Rate Process in the HJM Framework . . . . . . 197 10.6 LIBOR Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10.6.1 Dynamics in the LMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 10.6.2 The Numeraire Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 10.7 Bond Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 10.7.1 The Bond Valuation Equation . . . . . . . . . . . . . 199 10.7.2 Solving the Zero Bond Valuation . . . . . . . . . . . . 200 10.8 Calibrating Short-Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 10.8.1 CIR Process Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 10.8.2 Initial Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii 203 Statistics of Financial Markets: An Introduction |
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