专家意见与市场中的对数效用最大化

相似文件 换一批

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Expert Opinions and Logarithmic Utility Maximization in a Market with
  Gaussian Drift》
---
作者：
Abdelali Gabih, Hakam Kondakji, J\\\"orn Sass, Ralf Wunderlich
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  This paper investigates optimal portfolio strategies in a financial market where the drift of the stock returns is driven by an unobserved Gaussian mean reverting process. Information on this process is obtained from observing stock returns and expert opinions. The latter provide at discrete time points an unbiased estimate of the current state of the drift. Nevertheless, the drift can only be observed partially and the best estimate is given by the conditional expectation given the available information, i.e., by the filter. We provide the filter equations in the model with expert opinion and derive in detail properties of the conditional variance. For an investor who maximizes expected logarithmic utility of his portfolio, we derive the optimal strategy explicitly in different settings for the available information. The optimal expected utility, the value function of the control problem, depends on the conditional variance. The bounds and asymptotic results for the conditional variances are used to derive bounds and asymptotic properties for the value functions. The results are illustrated with numerical examples.
---
中文摘要：
本文研究了金融市场中的最优投资组合策略，其中股票收益率的漂移是由一个不可观测的高斯均值回复过程驱动的。有关这一过程的信息可通过观察股票收益和专家意见获得。后者在离散时间点提供漂移当前状态的无偏估计。然而，漂移只能部分观察到，最佳估计由给定可用信息的条件期望给出，即通过滤波器。我们为模型中的滤波方程提供了专家意见，并详细推导了条件方差的性质。在不同的投资组合中，我们明确地为不同的投资者推导出最优对数信息。最优期望效用，即控制问题的价值函数，取决于条件方差。利用条件方差的界和渐近结果导出了值函数的界和渐近性质。结果用数值例子加以说明。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
--> Expert_Opinions_and_Logarithmic_Utility_Maximization_in_a_Market_with_Gaussian_Drift.pdf (549.04 KB)

2022-5-5 20:16:34 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：效用最大化 专家意见 最大化 Quantitative Optimization

专家意见和对数效用最大化在一个具有高斯漂移的市场中Abdelali GABIH、HAKAM KONDAKJI、J¨ORN SASS和RALF Wunderlich摘要。本文研究了金融市场中的最优投资组合策略，其中股票收益率的漂移是由一个不可观察的高斯均值回复过程驱动的。有关这一过程的信息可通过观察股票回报和专家意见获得。后者在离散时间点提供漂移当前状态的无偏估计。然而，漂移只能部分观察到，最佳估计值由给定可用信息的条件期望给出，即过滤器。我们为模型中的过滤方程提供了专家意见，并详细推导了条件方差的性质。对于一个使投资组合的预期对数效用最大化的投资者，我们在不同的可用信息设置下明确得出最优策略。最优期望效用，即控制问题的价值函数，取决于条件方差。利用条件方差的界和渐近结果导出了值函数的界和渐近性质。结果用数值例子加以说明。1.导言我们考虑的投资者希望通过在由一个无风险资产组和一只股票组成的金融市场交易获得的最终财富的预期对数效用最大化。股票收益率满足率t=Ztusds+σdWs，其中W是布朗运动，波动率σ>0是常数，但漂移u是与W无关的随机过程。因此，漂移是隐藏的，必须根据观察到的股票回报进行估计。均方意义上的最佳估计是滤波器。

虽然在适当的可积性假设下，我们可以在解决效用最大化问题上取得很大进展，参见比约克、戴维斯和兰德恩[1]和莱克纳[9]，但我们需要允许有限维滤波器完全解决问题的模型，包括最优策略的计算。因此，在文献中，漂移过程被建模为OrnsteinUhlenbeck过程（OUP）或连续时间马尔可夫链（CTMC）。在这两种模型中，有限维滤波器是众所周知的，Kalman和Wonham滤波器分别见Elliott、Aggoun和Moore[5]，Liptser和Shiryaev[11]。日期：2014年2月26日2010年数学科目分类。初级91G10；次级93E11、93E20。关键词和短语。投资组合优化，效用最大化，专家意见，卡尔曼滤波，部分信息。2 A.GABIH，H.KONDAKJI，J.SASS和R.Wunderlich在这两个模型中，效用最大化问题得到了解决，分别参见Brendle[3]，Lakner[10]，Putsch¨ogl AND SASS[13]和Honda[8]，Rieder和B¨auerle[14]，Sassand Hausmann[15]。然而，为了改进估计，投资者可能会依赖专家意见。这些数据提供了漂移当前状态的噪声估计。对于无偏估计，这减少了滤波器的方差。更好的估计会提高预期效用。这可以被视为静态Black-Litterman方法的连续时间版本，该方法结合了资产回报向量的估计和对资产性能的专家意见，见Black和Litterman[2]。有关与其他贝叶斯和稳健贝叶斯方法的比较，请参见Sch–ottle、Werner和Zagst[17]。Frey、Gabih和Wunderlich[6,7]解决了潜在CTMC的问题。作为一种近似，还可以引入持续及时到达的专家意见。这就为投资组合优化问题提供了更明确的解决方案。

Davis和LLeo[4]认为这种方法适用于潜在的OUP，Sass、Seifred和Wunderlich[16]针对CTMC。在本文中，我们将研究剩下的案例，一个具有时间离散专家意见的潜在OUP。由于连续时间观察（股票收益率）和离散时间专家意见的结合，最优投资组合策略相当复杂。我们预计，对于电力设施，它们可以沿着[6,7]的路线，使用随机控制方法和额外的政策依赖性测量变化，参考Nagai和Peng[12]，并使用粘度解决方案得出。然而，由于我们的重点在于明确的结果和专家意见对不同信息制度改进的界限，因此我们在这里只考虑对数效用。其他效用函数的显式结果有待进一步研究。另一方面，将对数效用推广到多元情况，即具有多个风险资产的市场，是很简单的。过滤结果和最优策略可以类似地导出。但是，对于条件方差，闭式解不再可用，这些条件方差必须用数值计算。第4节中的收敛结果将更难获得。论文的结构如下。在第2节中，我们定义了一个上升漂移过程的模型，并详细说明了我们对专家意见的概念。我们为仅观察股票收益（经典部分信息）、仅专家意见以及股票收益和专家意见的组合产生的可用信息引入了不同的设置。作为参考，我们还考虑了全部信息。在第3节中，我们陈述了纯回归观测的经典卡尔曼滤波器，并在专家意见的情况下推导了滤波方程。

在第4节中，我们详细分析了条件方差：除了前向界和单调性假设外，命题4.3为有限时间范围内越来越多的i.i.d.专家意见提供了限制，命题4.6为定期到达的有限时间范围内的专家意见提供了条件方差的严格渐近界。这些性质和界限很重要，因为最优值是条件变量的函数。我们的主要结果是定理5.3，它提供了所有四种信息设置下的对数效用显式解。在“专家意见和对数效用最大化”35节的其余部分中，我们比较了不同情况下的最佳预期效用（价值函数）。在第6节中，我们提供了大量的模拟和数值计算来说明我们的理论结果。综上所述，我们的贡献在于（i）用专家意见在设置中找到过滤方程，（ii）用最优策略和值的封闭形式解决对数效用最大化问题，以及（iii）推导条件方差的限制和界限，并使用这些来比较不同的信息设置。2.金融市场模型对于代表投资期限的固定日期T>0，我们在过滤概率空间上工作(Ohm, G、 G，P），过滤G=（Gt）t∈[0，T]满足通常条件。假设所有过程都是G适应的。价格动态。我们考虑一个市场模型，一个无风险债券的价格为St=1，另一个有风险证券的价格为St，由dst=St给出utdt+σdWt. （2.1）假设波动率σ为正常数，W为一维G适应布朗运动。

漂移过程的动力学由随机微分方程（SDE）dut=α（δ）给出- ut）dt+βdBt，（2.2）其中α、β>0和δ∈ R是常数，B是独立于W的布朗运动。这里，δ是平均回复水平，α是平均回复速度，β描述u的波动性。假设初始值u是一个正态分布的随机变量，独立于B和W，平均值为m∈ R和方差ν≥ 0.众所周知，SDE（2.2）具有闭式溶液ut=δ+e-αth（u）- δ） +βZteαsdBsi，t>0。（2.3）这是一个高斯过程，称为Ornstein-Uhlenbeck过程。它有动量smt:=E[ut]=δ+E-αt（m）- δ） （平均值）（2.4）νt:=var[ut]=β2α+e-2αtν-β2α（方差）（2.5）cov[us，ut]=β2αe-α| t-s |+e-α（t+s）ν-β2αs，t的（协方差函数）≥ 0.可以看出，均值和方差分别以指数形式逼近极限δ和β2α，即t渐近→ ∞ 漂移uthasa N（δ，β2α）分布是平稳分布。从静态分布开始，导致（严格意义上）平稳漂移过程u，平均δ和相关函数cov[ut，ut+τ]=β2αe-α|τ|对于t，t+τ≥ 0.我们通过dRt=dSt/St定义了与价格过程S相关的退货过程R。注意，R满足dRt=utdt+σDWT和Rt=log St+σt。因此，我们4 A.加比、H.康达基、J.萨斯和R.温德里奇具有等式GR=Glog S=GS。这很有用，因为它允许在过滤部分使用R而不是S。投资者信息和专家意见。投资者不能直接观察提款过程。他对自己掌握的隐藏过程有着嘈杂的观察。更准确地说，我们假设投资者观察收益过程，并在N个离散的确定时间点t，tN-1具有0=t<…<tN-1<T和N∈ N关于u当前状态的嘈杂信号。

这些信号或“视图”被解释为专家意见，并由形式为Zk=utk的高斯随机变量建模+√Γkεk，i.i.d.随机变量ε，εN-1.~ N（0，1）独立于布朗运动B和w。因此，我们假设专家的观点是无偏见的，也就是说，他们期望与漂移的当前（和未知）值一致。方差Γkisa是专家可靠性的度量：Γk越大，专家的可靠性越低。注意，我们总是假设投资者知道模型参数，特别是初始值u的分布N（m，ν）。设置ν=0，我们可以对漂移的已知（确定性）初始值进行建模。投资者可获得的信息可以用投资者过滤FH=（FHt）t来描述∈[0，T]我们考虑了四种情况∈ {R，E，C，F}，其中fr=（FRt）t∈[0，T]与由{Rs，s生成的frtg≤ t} ，FE=（FEt）t∈[0，T]由{Zk，tk生成≤ t} ，FC=（FCt）t∈[0，T]和{Rs，s生成的fct≤ t、 Zk，tk≤ t} ，FF=G，我们假设σ-代数FHt，H∈ {R，E，C}被P的空集N扩充，例如FRt=σ（{Rs，0≤ s≤ t}∪N） 。注意，FCt=FRt∨场效应晶体管。FRand FEcorrespond是指只观察回报或专家意见的投资者。FCF描述了由返回和专家意见相结合而产生的信息。最后，FFS描述了一位拥有漂移过程完整信息的投资者。对于随机漂移，完整信息是不现实的，但我们使用FFA参考点获得的结果作为其他情况下的相应结果，例如在第6.3节中定义效率时。部分信息和过滤器漂移的过滤器是第一次测量的随机变量上的投影。它由条件期望but=E[ut | FHt]给出，是均方意义下的最佳估计。

下面我们将讨论四种情况FH、H∈ {R，E，C，F}。仅返回观测值（H=R）。如果投资者仅观察回报，且无法获得其他专家意见，则其信息由FR提供。然后漂移过程u和回报过程R共同为高斯分布，因此给定R的条件分布完全由条件均值buRt:=E[ut|FRt]和条件方差γRt:=E[（ut）描述- buRt）|FRt]。众所周知的卡尔曼滤波器给出了buRandγ的动力学，参见LiptserEXPERT意见和对数效用最大化5和Shiryaev[11]，其中包括buRtdbuRt的以下SDE=α(δ - buRt）- σ-2γRtbuRtdt+σ-2γRtdRt，buR=m，（3.1）和条件方差γRtddtγRt=-σ-2（γRt）- 2αγRt+β，γR=ν，（3.2）因此γRTI是确定性的。上述常微分方程称为里卡蒂方程，初始值γR=ν≥ 0唯一非负解（见Lakner[10]）γRt=-ασ+CC+Ce-2Cσ-2tC- 总工程师-2Cσ-2t（3.3），C=σpσα+β，C=ν+ασ+C，C=ν+ασ- C.仅专家意见（H=E）。如果投资者对漂移的估计是基于专家意见得出的离散点t，我们有信息。对于条件平均值bue和条件方差γ，我们得到以下结果。引理3.1。（i） 在两个信息日期tk和tk+1之间∈ [tk，tk+1），k=0，…，N-1表示bueti为高斯分布，buEt=e-α（t）-tk）buEtk+1.- E-α（t）-（tk）δ、 （3.4）γEt=e-2α（t-tk）γEtk+1.- E-α（t）-（tk）β2α. （3.5）（ii）在信息日期，tkit认为buEtkis为高斯分布，buEtk=λEkbuEtk-+ (1 -λEk）zk，其中λEk=ΓkγEtk-+ Γk（3.6）γEtk=λEkγEtk-=γEtk-ΓkγEtk-+ Γk.（3.7）对于t=0，我们设置buE0-:= mandγE0-:= ν.证据因为专家的意见在时间上是离散的，所以它对t是有效的∈ [tk，tk+1），k=0，…，N- 1.

然后我们有buEt=E[ut | FEt]=E[ut | FEtk]和γEt=E[（ut- buEt）|FEt]=E[（ut- buEt）| FEtk]。根据（2.3）我们得到ut=δ+e-α（t）-tk）h（utk- δ） +βZttkeα（s-tk）dBsi。6 A.GABIH、H.KONDAKJI、J.SASS和R.Wunderlich因此，buEt=δ+e-α（t）-tk）（E[utk | FEt]- δ） =e-α（t）-tk）buEtk+（1- E-α（t）-tk）δ和γEt=E“E-α（t）-tk）（utk- buEtk）+βe-α（t）-tk）Zttkeα（s）-tk）星展银行场效应晶体管#=e-2α（t-呃utk- buEtk| FEtki+βe-2α（t-tk）EZttke2α（s）-tk）ds= E-2α（t-tk）γEtk+β2α1.- E-2α（t-（tk）,我们使用了随机积分的鞅性质和It^计量。这将得到（3.4）和（3.5）中的表示。更新公式（3.6）和（3.7）可被视为退化离散时间卡尔曼滤波器的更新，参见Elliott、Aggoun和Moore[5]第4.5节中的公式（5.12）和（5.13）。它在这里是退化的，因为没有时间从传统知识演变而来- 去tk。或者，更新公式可以直接计算为buEtk的贝叶斯更新-给定N（utk，Γk）-分布的经验公式，参见定理II。8.2在Shiryaev[18]。2标记3.2。条件平均值buEtk的更新公式（3.6）表明，第k次专家意见到达后的过滤器是过滤器buEtk的加权平均值-在到达和查看专家的意见之前。权重λEk∈ [0,1]随着专家的可靠性Γk（即可信度）的降低而降低。所以更多的重量1- λek表示该视图。对于极限情况Γk=0（除完整信息外），我们有1- λEk=1，buEtk=Zk=utk。对于Γk=∞ 我们有λEk=1和buEtk=buEtk-, i、 e.专家的观点没有影响，因为它没有关于未知漂移ut的信息。从更新条件方差γEtkit的公式（3.7）可以看出γEtk≤ 最小{γEtk-, Γk}，即额外的信息不会增加条件变量。

对于极限情况Γk=0，我们有γEtk=0，而对于Γk=∞ 我们有γEtk=γEtk-. 专家的观点同样没有影响。返回观察结果和专家意见（H=C）。设置H=R和H=E的组合是我们主要感兴趣的情况。投资者通常使用所有可用信息、股票回报和专家意见。引理3.3。（i） 在两个信息日期tk和tk+1之间∈ [tk，tk+1），k=0，…，N-1表示buCt为高斯分布，满足buCt=αδ - (α + σ-2γCt）buCtdt+σ-2γCtdRt，（3.8）与γCt=-ασ+CC1k+C2ke-2Cσ-2（t）-tk）C1k- C2ke-2Cσ-2（t）-tk）（3.9）和初始值buCtk和γCtk，k=0，N-1.常数顺式为（3.3），对于k=0，N- 1C1k:=γCtk+ασ+C和C2k:=γCtk+ασ- C.（3.10）专家意见和对数效用最大化7（ii）在信息日期tkit认为，buCtkis高斯和buctkanγCtkare是从tk时的相应值中获得的- （在视图到达之前）分别使用更新公式（3.6）和（3.7），即buCtk=λCkbuCtk-+ (1 -λCk）zk和γCtk=λCkγCtk-, （3.11）式中λCt=（γCtk）-+ Γk）-1Γ和buC0-:= m、 γC0-:= ν.证据在两个信息日期tk和tk+1之间，我们处于卡尔曼滤波器的标准状态，信号的高斯初始值为utk，buctk，条件方差的滤波器和确定性值为γctk。由于没有额外的专家观点（tk，tk+1），只有回报对投资者的融资有贡献，我们有FCt=FCtk∨ σ{Rs，tk<s≤ t} 对于t∈ （tk，tk+1）。因此（3.8）和（3.9）直接从相应的卡尔曼滤波方程（3.1）和（3.3）得出。在专家信息日期，我们通过对Gaussianprior buCtk应用退化Kalman更新或贝叶斯更新公式，得到（3.11）中的更新公式-和高斯专家意见Zkas在引理3.1的证明中。2标记3.4。