一般OTC合同中的随机切换控制模型

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英文标题：
《A stochastic switching control model arising in general OTC contracts
  with contingent CSA in presence of CVA, collateral and funding》
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作者：
Giovanni Mottola
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The present work studies and analyzes general defaultable OTC contract in presence of a contingent CSA, which is a theoretical counterparty risk mitigation mechanism of switching type that allows the counterparty of a general OTC contract to switch from zero to full/perfect collateralization and switch back whenever she wants until contract maturity paying some switching costs and taking into account the running costs that emerge over time. The motivation and the underlying economic idea is to show that the current full/partial collateralization mechanisms defined within contracts\' CSA - and now imposed by the banking supervision authorities - are \"suboptimal\" and less economic than the contingent one that allows to optimally take in account all the relevant driver namely the expected costs of counterparty default losses - represented by the (bilateral) CVA - and the expected collateral and funding costs. In this perspective, we tackle the problem from the risk management and optimal design point of view solving - under some working assumptions - the derived stochastic switching control model via Snell envelope technique and important results of the theory of the backward stochastic differential equations with reflection (RBSDE). We have also studied the numerical solution providing an algorithm procedure for the value function computation based on an iterative optimal stopping approach.
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中文摘要：
本文研究和分析了存在或有CSA的一般可违约OTC合同，这是一种理论上的转换型交易对手风险缓解机制，允许一般OTC合同的交易对手从零转换为完全/完美抵押，并在合同到期前随时切换，支付一定的转换成本，并考虑到随着时间推移产生的运行成本。其动机和基本的经济理念是为了表明，合同CSA中定义的、目前由银行监管机构实施的当前全部/部分抵押机制是“次优”的，比或有机制更不经济，后者允许最佳地考虑所有相关驱动因素，即交易对手违约损失的预期成本由（双边）CVA代表——以及预期的抵押品和融资成本。从这个角度出发，我们从风险管理和优化设计的角度来解决这个问题，在一些工作假设下，通过Snell包络技术和倒向随机反射微分方程（RBSDE）理论的重要结果来求解导出的随机切换控制模型。我们还研究了数值解，为基于迭代最优停止方法的值函数计算提供了算法程序。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_stochastic_switching_control_model_arising_in_general_OTC_contracts_with_conti.pdf (719.57 KB)

2022-5-16 10:50:43 上传

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关键词：OTC counterparty Mathematical Quantitative Differential

在CVA、抵押品和资金存在的情况下，或有CSA的一般OTC合同中产生的随机切换控制模型7 marzo 2022年10月30日，2014年吉奥瓦尼·莫托拉萨皮安扎大学罗梅兹分校目前的工作研究和分析了或有CSA存在的一般可违约OTC合同，这是一种理论上的转换型交易对手风险缓解机制，允许一般OTC合同的交易对手从零转换为完全/完美抵押，并在合同到期前随时转换，支付一些转换成本，并考虑到随着时间推移产生的运行成本。其动机和基本的经济理念是为了表明，合同CSA中定义的、目前由银行监管机构实施的当前全部/部分抵押机制是“次优”的，且经济性低于或有机制，该机制允许以最佳方式考虑所有相关驱动因素，即交易对手违约损失的预期成本以（双边）CVA为代表，以及预期的抵押品和融资成本。从这个角度来看，我们从风险管理和优化设计的角度来解决问题——在某些工作假设下——通过斯奈尔包络技术推导出的随机切换控制模型，以及具有反射的反向随机微分方程（RBSDE）理论的重要结果。

我们还研究了数值解，为基于迭代最优停止方法的值函数计算提供了算法程序。1导言。1.1文献综述。目前的研究工作探索和发展了与存在交易对手风险的一般OTC合同的估值和风险管理相关的一些问题，即信用价值调整（CVA）、抵押和融资。交易对手风险评估及其在定价和风险管理中的影响在日常金融市场中变得非常重要和相关。特别是，在上一次危机和雷曼兄弟违约之后，金融机构通过著名的“信用价值调整”（CVA，我们参考第二节了解其正式定义）的指控，在其场外交易头寸上定期交易这种风险，这是主要风险之一：g。mottola@be-谢。这是由于交易对手信用/评级条件恶化导致危机期间相关损失的原因。几乎与此同时，场外交易，尤其是信用衍生产品和利率互换，在合同中定义的担保条款和担保机制大幅增加。这些通常在被称为“信贷支持附件”（CSA）的特定附件中定义。

其原因是，设置担保机制允许交易对手减少甚至取消CVA（这取决于担保的类型，全部或部分，以及保证金），这是在基础合同期限内承担的交易对手违约风险的预期加权敞口的积分，或相当于设置动态对冲策略以最小化该风险的成本。为了说明这一问题的相关性，巴塞尔委员会还对交易对手风险进行了干预，制定了新的规定和规则（巴塞尔协议三），以评估和控制交易对手风险。特别是，除了作为所有市场交易“担保人”的中央交易对手清算所外，还引入了资本费用，以考虑CVA的波动性，该清算所有义务仅与向其转移信用/违约风险的交易对手设定完整的抵押程序。因此，交易对手风险是评估和分析的关键因素。关于文献，近期的主要工作涉及特定衍生产品和投资组合层面的CVA动态和抵押品机制建模。关于这一点，值得一提的是Gregory（2010）和Cesari（2009）的专题著作，它们从定价/对冲和风险管理的角度对涉及的问题进行了详细分析。特别是，他们解决了与CVA建模和套期保值相关的问题，强调了在存在抵押品机制的情况下，基于动态和静态套期保值策略的可能方法，特别关注运营和计算方面（尤其是在投资组合层面），并展示了不同类型衍生产品的示例和应用。还有Bielecki等人。

（2011）在Markovcopula框架下面临CVA套期保值问题，提出了一种基于抽象合同的动态套期保值策略，称为“滚动CDS”，基于通过均值-方差套期保值方法得出的交易对手违约事件，考虑到市场的不完全性和复制CVA的不可能性。除了Cesari（2010年）、Gregory（2009年）已经提到的著作外，关于抵押品在信用风险缓解和信用风险降低中的重要性和作用，值得一提的是Brigo、Capponi等人（2011年）的著作，该著作建模并分析了抵押品化（包括再抵押和净额结算）对信用风险缓解和无违约索赔定价的影响；Cossin&Aparicio（2001）在一个结构框架下工作，首次提出将抵押品用作交易对手风险的适当控制工具，并使用它设置一个随机脉冲控制问题（具有受控扩散动态），通过变分不等式数值方法解决。Johannes&Sundaresan（2003）分析了抵押品在确定市场掉期利率中的作用，强调了其相关性和影响。

Fujii&Takahashi（2010年、2011年）将他们的观察结果进行了扩展，考虑到期限结构建模中的抵押品作用，采用Duffee&Huang框架，并使用Gauteaux函数导数——他们能够显示单边和双边CSA中定义的抵押品机制对CVA的相关影响（强调融资成本、抵押货币选择问题和模型风险等相关问题，尤其是在存在异国产品的情况下）。关于抵押品问题，其他值得一提的作品是Pieterbarg（2010）的作品，他在经典的Black and Scholes框架和Bielecki中介绍了抵押品，Cialenko&Iyigunler（2011）在马尔可夫-copula框架下推导了抵押CVA动态及其对无风险定价的影响，计算了CDS产品（所有涉及违约的交易对手）的价差调整。关于融资，重要参考文献是Brigo et al.（2011）的观点，该观点概括了CSA存在时的CVA估值，包括融资（定义所谓的FVA）Crepey（2011），该观点首次使用反向SDE理论严格解决了CSA和融资存在时总合同的价格对冲问题。1.2目标和主要贡献。在目前的工作中，我们分析了一个理论上新的方案，其中两个可违约的交易对手希望定义一个CSA，其特点是灵活性，以及双方在基础索赔/合同的有效期内调用/放置抵押品的可能性。

我们具体指的是一种或有风险缓解机制，该机制允许交易对手从零转换为完全/完美的抵押（甚至部分），并在她想要的时候转换回来，直到支付一些转换成本，并考虑到随着时间的推移而产生的运行成本。在分析这个问题时，我们建模并考虑的运行成本一方面是与CVA相关的成本，即交易对手风险对冲成本，另一方面是当抵押活跃时出现的交易对手成本和融资/流动性成本。我们可以通过下文（图1.1）所示的确定的或有CSA方案总结问题的特征和基本思想（我们表明，承认自然公式为随机（多重）脉冲/切换控制问题），其中——考虑到图片中的资金问题——存在第三方，为方便起见，假设外部出资人无违约（λ=0）。图1：基本概念。我们的主要贡献是将所分析的问题作为一个随机切换控制问题（设置在第二节和第三节中），给出了一个相当一般的公式（不尽可能一般），其解的存在性和唯一性通过合适的随机方法（主要是Snellenvelope和反射后向SDE表示法）（第四节）和基于迭代最优停止程序的数值解算法的定义，以及我们在可违约利率互换的情况下实施的Longsta ff-Schwartz方法来证明（根据我们定义的或有CSA）（在第五节）。2模型框架、定义和工作假设。2.1模型框架。首先，我们可以方便地描述我们工作的框架，并对所涉及的过程和变量给出一些有用的定义。

该框架是文献中典型的简化形式模型之一：我们处于连续时间中，我们有一个由三元组描述的概率空间(Ohm, Gt，Q）其中存在两个严格正的随机时间τifor i∈ {A，B}，代表我们模型中考虑的交易对手的违约时间。此外，我们还定义了默认过程Hit={τi≤t} 以及Hitfor anyt产生的相对过滤∈ R+。这意味着模型的完整过滤由G=F给出∨ 哈∨ HB其中，Fis指的是（无风险）市场过滤，通常由布朗运动W（或向量^W）在实际测量值Q下产生。在剩下的工作中，我们用gt=σ（Ft）表示∨哈∨HB）t≥0这是扩大市场过滤的西格玛代数。此外，我们还记得，我们考虑的所有过程，尤其是Hi，都是c\'adl\'ag半鞅Gadapted和τiare G停止时间（这意味着处于Skorohod拓扑中）。为方便起见，让我们将交易对手的首次违约时间定义为τ=τA∧ τBwhichalso表示基础合同的结束/终止时间，相应的指示程序Ht={τ≤t} 。对于与基础市场模型有关的内容，它被假定为无风险的，这意味着它允许现货鞅度量Q*（不一定是唯一的）等价于Q。A点鞅测度与储蓄账户BT的选择有关（因此B-1作为折扣系数），通常由Ft predictableprocessBt=expZtrsds给出， T∈ R+（1）为了方便起见，我们假设浸入特性在我们的框架中成立，因此每个c\'adl\'ag G适应（平方可积）过程也是F适应的。

特别是，我们在以下章节中遇到的过程和随机变量通常是G-适应的或可预测的，并且通常是Gτ-可测量的，但由于默认时间τ在简化框架中无法访问，因此需要使用F-适应的或可预测的过程，称为pre-defaultvalue过程，用X表示-这是X的左极限过程。下面的引理是一个经典的结果，允许这种过滤的变化。引理2.1.1。集合J:=1- H={t≤τ }.对于[0，T]上的任何G-适应的、分别为G-可预测的过程X，存在一个唯一的、分别为F-可预测的、分别为F-适应的、分别为F-可预测的过程X，称为X的预设值过程，使得JX分别为J-X=J-■X.备注2.1.1。1） 特别是，在我们的框架中，我们假设在τ处停止的F-局部鞅也是G-局部鞅，这只是浸入假设的一个修正。详情见Jeanblanc&Le cam（2008）。2） 因此，值得提醒的是，F适应的c’adl’ag过程不能在τ处跳跃，所以我们有几乎可以肯定的是，对于每一个F适应的c\'adl\'ag过程X，X=0。这些是使框架和模型更具可操作性所必需的技术条件，该框架和模型以可违约过程为特征，其默认值无法访问，allowto设置跳转行为以及模型中要考虑的所有相关问题还包括终止条款和合同重置成本（例如，我们参考Brigo，Capponi etal（2011））。无论如何，这将在下一节中明确。2.2主要定义。让我们首先回顾一下我们的双边CVA模型所需的主要定义，以及完美/完全抵押的CSA和我们的理论或有CSA方案。

更多详细信息请参见（参考）。我们开始对违约索赔的价格过程（或NPV）和CVA进行一些一般性定义，对于该违约索赔，双方在相关合同中未确定无抵押的CSA和其他缓解机制。首先，通过在时间T到期的两个风险对手之间签署的可违约索赔，我们指的是四倍（X；a；Z；τ），其中X是FT可测量的随机变量，a=（at）T∈[0，T]是A=0，Z=（Zt）T的有限变化的F适应连续过程∈[0，T]是anF可预测过程，τ=τA∧ τBis一个交易对手的首次违约时间（假设在简化形式框架中完全无法访问）。定义2.2.1（清洁股息和价格流程）。交易对手无违约（交易所交易）合同的净股息过程是最终支付额、现金流量a和τ=τi=∞ 如下所示：drft=X[T，∞]（t） +Xi∈{A，B}Z] t，t]dAiuT∈ [0，T]。（2） 清洁价格过程SRF可以简单地用相对定价度量下的分割过程随时间的积分表示，即isSrft=BtEQ*Z] t，t]B-1地址英尺T∈ [0，T]。（3） 定义2.2.2（双边风险股息和价格过程）。具有双边交易对手风险（X；a；Z；τ）的可违约债权的股息过程被定义为直到到期T的债权总现金流，即形式上的T=X{T<τ}[T，∞]（t） +Xi∈{A，B}Z] t，t]（1）- Hiu）dAiu+Z]t，t]ZudHiuT∈ [0，T]（4）代表i∈ {A，B}。类似地，双边交易对手风险到期的可违约债权的（除息）价格过程定义为风险中性度量Q下贴现股息流的积分*, 即该权利要求的NP-Vt，即形式上的YNP-Vt=St=BtEQ*Z] t，t]B-1udDu燃气轮机T∈ [0，T]。