概率之五——公平的含义(转自blog.sina.com.cn/gongxiaoqig)-经管之家官网！

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先把上一次的问题一般化然后复述如下：

甲、乙两人赌博，各出注金a元。每局个人获胜的概率都是50%，约定：谁先胜S局就赢得全部注金 2a元，现进行到甲胜S1局乙胜S2局时赌博因故停止。问此时注金2a应如何分配给甲、乙，才算公平？

此问题的文字最早出现于1494年帕西奥利的一本著作中。

由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确。例如帕西奥利本人提出因按两人获胜局数的比例来分配，即按S1:S2的比例来分配。泰塔格利亚在1556年很干脆地认为这件事是不能通过数学来解决的，应该交给法官来裁决。不过他还是尝试着提出了一种解法。

泰塔格利亚认为，若S1>S2，则甲取回自己下的注a，并取走乙下的注的(S1-S2)/S。

法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按(2S-1+S1-S2):(2S-1-S1+S2)的比例分配。

卡丹诺在1539年通过较深的推理提出了一种解决方法，它的这个解法现在看来还不算是正确的，但又一个重要之点，就是他注意到真正起作用的并不是他们各自已经赢的局数，而是所赢的局数S1和S2与最终胜利所需的局数S的差距。

我们在“抽签问题”时曾经说到，“公平”分为两种：结果公平与机会公平。

如果按照结果公平的原则来分配，则每个人各自取回自己的赌本，即各得一半。

但很显然，那个已经赢了较多局数的人肯定不会认为自己受到了公平的待遇，因为他认为自己获胜的机会要更大一些。

其实，要让那个赢的局数多一点的人多得一点注金的想法，大多数的数学家都已经考虑到了，所不同的只是具体以什么比例来分配的问题。

精确的阐述还需要用到数学期望的概念，但我们可以这样来理解这个问题，其出发点就是，谁成功的机会大，谁应分得的份额就大。

设甲最终获胜的概率为p，乙最终获胜的概率为q，则显然有p+q=1。所谓“机会公平”的含义是指，每个人应该按照其最终获胜的概率来分配注金，即甲应该得2ap，乙得2aq。

能够想到这一点，那么这个问题就好解决了。由于这里的页面不能显示数学公式（因为要用到排列组合），所以回到上一次的问题，即S1=4，S2=2时的简单情形，提供两种解答方式。

解法一。

乙只有在下面两种情形下才有可能获胜：

1）连胜四局，其概率为1/16。

2）在接下来的四局中至少要赢3局，并且第五局一定要赢，这样运用伯努利概型算下来，应该等于4/32或1/8。

最后由概率的可加性，得乙最终获胜的概率为3/16。于是甲获胜的概率为13/16。

解法二。

由于最多只要再进行5局就可以定出胜负，而甲只需要再胜至少两句就可以获胜，于是由伯努利概型或二项分布，可以算得甲获胜的概率还是13/16。

于是，最后甲应该分得注金2(13/16)a = 1.625a，乙应该分得0.375a。昨天梅梅在评论中给出的解答是正确的。祝贺你一下子就超越了那么多古代的数学家。

关于解法二很多人颇有微词，因为这种解法的前提是要赌满五局，而事实上只要甲连胜两局赌博就结束了。关于这个问题的解答，要说清楚还需要用到全概率公式。我在这里只是说明一点，这就是——

如果比赛是五局三胜的，那么不管规则是不是要求打满五局（如网球团体赛一般要求打满五局而不管是不是有一方已经提前赢了3局，而排球则是如果有哪一方先胜三局比赛就提前结束），任何一方获胜的概率都不会有变化。

分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，给出了一定的启示。

从社会分配领域来说，从这个例子我们可以看出，机会公平体现着如下两层含义。

其一是强调起点的公平。在这个例子中，开始的时候每个人获胜的概率是一样的。

其二是重视因为历史发展过程中出现的分化和个体的差异性。就本例而言，由于一些偶然的原因，某一方获得了较大的成功机会，那么分配规则的制定必须考虑这种机会的差异。

体育比赛的规则都是对强队有利的。比如说，巴西足球队与中国足球队的比赛，规则规定谁进球多谁就获胜，这显然对中国队不利，因为巴西队更会射门。

但是在几百年以前，当大家都不会踢足球的时候，这条规则对大家而言是公平的，由于一些历史上的偶然原因，导致了国家与国家之间的差异，这就导致了双方比赛结果上的不平均，但大家似乎都承认这种不平等，还是认为这种规则是公平的。

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