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【原创】点和无穷

作者：肖演东（Yandong Xiao）

几年前，笔者写了《论点和长度》一文。由于该文没有对点这个概念进行细致地讨论，所以笔者写了本文作为补充，并且笔者还在本文中增加了对无穷这个概念的探讨。

一、点

长期以来，点被定义为没有长度的东西。换句话说，点的长度为零。然而至今没有任何人以某种方式直接或者间接地感知过长度为零的点。另一方面，对有限且大于零的长度进行定义要依赖于点。因为有限且大于零的长度都有两个端点，如果没有端点，有限且大于零的长度将无法对应具体的数值。

这引出一个有趣的问题。长度为零的点是否能被感知或者是否存在？这个问题的第一部分相对容易回答，那就是长度为零的点不能被感知。先假定长度为零的点能被感知，这意味着我们的感官能直接感知长度为零的点。为什么呢？因为长度为零的点置于任何具有放大功能的仪器和设备之下长度仍为零，任何仪器和设备都不能将长度为零的点放大。所以是否使用具有放大功能的仪器和设备对感知长度为零的点没有任何影响。但是，我们的感官却无法直接感知任何一个像物理学中的质子这么细小的对象。换句话说，我们的感官不能直接感知任意比物理学中的质子更细小的对象，从而不能直接感知长度为零的点。所以，长度为零的点不能被感知。

严格来说，对于无法感知的事物，我们需要有间接的证据来证明其存在。有什么间接证据可以证明长度为零的点存在呢？有一种证据看起来说服了多数人。给定一根1米长的棍子，通过持续将它分成两半，最终将得到长度为零的点。但是这个证据本身却依赖于一个基本假定，即有限且大于零的长度是绝对精确的。然而这根棍子的长度1米要绝对精确，却需要这1米的两个端点的长度都为零。因为如果这1米的两个端点中有任何一个端点的长度大于零，那么就需要对这个长度大于零的端点进行测量。换句话说，这个长度大于零的端点本身又有两个端点。除非能找到两个长度都为零的端点，否则测量将持续。这样一来，我们可以看出，有限且大于零的长度要绝对精确，前提是存在长度为零的点。这等于先假定存在长度为零的点再证明存在长度为零的点，这是一个无效的证明。

类似地，芝诺悖论中的二分法悖论、追龟悖论、飞矢不动悖论，都要假定存在长度为零的点。比如二分法悖论中说人要迈出一步，先要迈出这一步的二分之一，要迈出这一步的二分之一先要迈出这半步的二分之一，如此等等。没有长度为零的点，这一步就不是绝对精确的，这个持续的二分操作将在某个阶段停止。同样的，追龟悖论和飞矢不动悖论也依赖于存在长度为零的点这一假定。

事实上，不存在任何有说服力的间接证据证明长度为零的点存在。任何所谓的间接证据充其量只是同语反复。因为长度为零的点不能被感知，人们只能依靠想象来填充。

这引出一个更重要的问题，即由于任何大于零的长度都不是绝对精确的，从而数学中的无限小数没有任何实际意义。对应于现实世界的事物，我们只须使用有限小数。

二、无穷

也许有人会突发奇想，如果能找到把事物放大无穷倍的工具，那么将能让长度为零的点被感知。然而，我们对无穷是什么至今仍不明确。

以下就采用数学中的正无穷来举例说明。数学上通常用符号+∞来表示正无穷，这里我们也采用这种符号。另外，设n为任意正整数。

对于+∞和n，我们有如下等式(a)：

+∞ - n = +∞

这个等式表明，对于任意正整数n，+∞减去它之后仍是+∞本身。从这个等式我们可以看出，+∞和正整数n是不同的，因为正整数n不具有等式(a)这种性质。

另一方面，为了构造无穷多个对象，数学上引入了表达式n→+∞。比如，当n→+∞时，以下这个序列变成了一个无穷序列：

1，2，3，…，n，…

然而，数学上从不解释为什么表达式n→+∞能成立。事实上，表达式n→+∞的含义是模糊的。我们来对这个表达式进行一些变换。比如，表达式两边都减去n，即有

(n - n)→(+∞ - n)

由于n – n =0，从而有表达式

0→(+∞ - n)

根据等式(a)，我们知道+∞ - n = +∞。从而得到表达式

0→+∞

显然，0→+∞这个表达式是荒谬的，因为0是一个常数，而不是一个变量。于是，要绕开这个矛盾，就要把等式(a)中的n和表达式n→+∞中的n区别对待。等式(a)中的n的取值范围是任意正整数，从而表达式n→+∞中的n的取值范围不能是任意正整数或者比任意正整数更小的范围，否则仍会导出0→+∞这个表达式。这样一来，表达式n→+∞中的n的取值范围成了一个未解决的问题。所以，在数学当中，我们无法弄清什么是无穷。（注：该文2018年1月23日首次发表于今日头条）